Astronomija| Nauka| Sex| Umetnost

Arhimedovo kupatilo

nsarski RSS / 16.04.2012. u 20:38

Semi-regular-Seville.JPG 220px-Domenico-Fetti_Archimedes_1620.jpg

Mozaik u Sevilji                                       Arhimed zamisljen

Legenda kaže da je Arhimed iz Sirakuze (287-212. p.n.e.), ulazeći u kadu da se kupa, i posmatrajući kako se nivo vode u kadi prilikom njegovog ulaska povećava, otkrio metod da izmeri zapremine tela nepravilnih oblika. Ta zapremina je tačno jednaka zapremini vode koju je telo, potopljeno u vodu, tom prilikom potislo. Oduševljen ovim otkrićem, i zaboravivši u tom zanosu da se obuče, on je go istrčao na ulice Sirakuze vičući: „Eureka, eureka!” Kada znamo zapreminu tela i njegovu masu (težinu), koju je lako izmeriti, onda prostim deljenjem mase sa zapreminom možemo da izračunamo gustinu materijala od kojeg je telo napravljeno. Legenda dalje kaže da je Arhimed baš u to vreme imao pred sobom zadatak da utvrdi da li je neka kruna (telo nepravilnog oblika) bila napravljena od čistog zlata ili je „majstor zlatar”, koji je krunu napravio, u to zlato pomešao i malo srebra. Pa, sada kad je znao kako da izmeri zapreminu krune, Arhimed je lako izračunao gustinu materijala od kojeg je kruna napravljena (podeli težinu krune sa njenom zapreminom). Ispostavilo se da je majstor pomalo “majstorisao” i sa srebrom, i Arhimed je dobio pristojnu nadoknadu od kralja. Na taj način je takođe pokazao da se bavljenje naukom ponekad isplati.

Ovu legendu sam čuo kao mali, i tada sam zamišljao to Arhimedovo kupatilo i njegovu radost zbog otkrića koje je napravio. Zamišljao sam veliku pravougaonu kadu i pločice, ili mozaik (u ranom detinjstvu sam živeo u kući sa velikim kupatilom urađenim u mozaiku), i pitao sam se kako je tačno to kupatilo izgledalo. Mnogo godina kasnije naučio sam da je, pored otkrića o merenju zapremine tela nepravilnih oblika, iz Arhimedovog kupatila izašlo još mnogo drugih važnih otkrića, i o tome je ovaj blog . O pločicama u Arhimedovom kupatilu, egipatskim razlomcima, Kepleru, Direru i kosmičkim strunama.

Ako bismo hteli da popločamo ravnu površinu Arhimedovog kupatila istovetnim jednakostraničnim mnogougaonim pločicama, onda je poznato da je to moguće uraditi jedino ako su pločice trougaone (jednakostranični trouglovi), četvorougaone, ili šestougaone. Ovako:

 400px-Tiling_Regular_3-6_Triangular.svg.png 250px-Tiling_Regular_4-4_Square.svg.png 250px-Tiling_Regular_6-3_Hexagonal.svg.png

Lako je videti zašto je ovo moguće. U slučaju trougaonog popločavanja, na primer, temena 6 jednakih trouglova istovremeno se dodiruju u jednoj tački. Unutrašnji ugao svakog trougla je 60 stepeni, pa je 6x60=360, što je pun krug, a to je uslov da popločavanje bude potpuno. Na sličan način se temena 4 kvadrata sreću u jednoj tački, svaki sa unutrašnjim uglom od 90 stepeni, a 4x90=360, te je popločavanje opet potpuno. Najzad, 3 šestougla, sa unutrašnjim uglovima od 120 stepeni, daju 3x120=360 – opet potpuno popločavanje.

Iz ovoga je, na primer, odmah jasno da je nemoguće popločati ravan pravilnim petouglovima. Unutrašnji ugao petougla je 108 stepeni: ako bi se u tački sretanja našla tri temena petougla, onda 3x108=324, sto je manje od 360, pa bi ostale nepopločane površine – kao da imamo „višak prostora“; četiri petougla je, opet, suviše jer 4x108=432, što je veće od punog kruga, 360 stepeni, pa bi se ti petouglovi preklapali – kao da imamo „manjak prostora“. Slično važi i za sve druge pravilne mnogouglove – osim gore nabrojanih, ne postoji nijedan drugi pravilni mnogougao čiji je unutrašnji ugao takav da je pun krug, 360 stepeni, celobrojni umnožak tog unutrašnjeg ugla. I tu se ova dosadna priča o popločavanju ravne površine pravilnim mnogouglovima završava – trouglovi, kvadrati, šestouglovi - i to je sve.

Međutim, da li je moguće popločati ranu površinu pravilnim mnogouglovima ako bi (ovde dolazi eureka momenat) koristili različite pravilne mnogouglove, a ne iste, kao što je zahtevano gore? Da probamo. Nešto ovako:

250px-Tiling_Semiregular_4-8-8_Truncated_Square.svg.png

Eureka! Moguće je! U jednoj tački se sreću temena dva pravilna osmougla (unutrašnji ugao 135 stepeni) i teme jednog kvadrata (unutrašnji ugao 90 stepeni) pa je 2x135+90=360. U ovom primeru se, primetimo, koristi osmougao koji, sam za sebe, ne bi mogao da poploča ravan. Ovo nam otvara veliki broj novih mogućnosti prekrivanja ravne površi pravilnim mnogouglovima, i ta prekrivanja se zovu Arhimedova popločavanja. Nije poznato šta je Arhimed uzviknuo posle ovog otkrića i da li je istrčao na ulicu.

Ovde se odmah pojavljuje zanimljivo pitanje klasifikacije ovakvih popločavanja i koliko takvih različitih popločavanja ima? Da bi se na to odgovorili, potrebno nam je malo elementarne matematike, koja će nas, kao što ćemo kasnije videti, daleko dovesti. Dakle, spremite se.

Poznato je da unutrašnji ugao pravilnog n-tougla može da se izračuna iz formule

 

(1-2/n)Pi – ova formula se elementarno izvodi u sedmom osnovne, to znam pouzdano – vežbao sam!

 

Pi je oznaka za grčko slovo i označava ugao od 180 stepeni u radijanima. 2Pi je pun krug, ili 360 stepeni. Da proverimo: kad je n=3 imamo trougao, pa je unutrašnji ugao, prema gornjoj formuli, (1-2/3)Pi = Pi/3=60 stepeni. Ako je n=4 (kvadrat), imamo (1-2/4)Pi=Pi/2=90 stepeni. Za n=5 (petougao), imamo (1-2/5)Pi=3Pi/5=108 stepeni, itd. Naoružani ovim fantastičnim znanjem, sada možemo da odgovorimo na ono pitanje o Arhimedovom popločavanju.

Zamislimo da se u jednoj tački tog popločavanja sastaju temena K pravilnih n-touglova. Recimo, u gornjem primeru sa dva osmougla i jednim kvadratom (videti sliku!), K=3 (sreću se tri temena). Svaki od tih n-touglova doprinosi ugao (1-2/n)Pi, a zbir svih doprinosa mora da se sabere do 2Pi (360 stepeni), ili punog kruga, da bi popločavanje bilo potpuno. Naravno, ovi n-touglovi mogu da budu različiti (trouglovi, osmouglovi…), pa je za svaki od njih i broj n različit (3, 8, itd.). Imamo, dakle,

 

(1-2/n1)Pi+(1-2/n2)Pi+(1-2/n3)Pi+….=2Pi, ili pun krug.

Ovih sabiraka na levoj strani ima K komada. Ovde se broj Pi, koji množi obe strane jednačine, može eliminisati, tj. da se dobije

(1-2/n1)+(1-2/n2)+(1-2/n3)+…=2

Pošto sabiraka na levoj strani ima K komada, onda levu stranu možemo da sumiramo u obliku

K-2(1/n1+1/n2+1/n3+…)=2

gde prvi član dolazi od K jedinica (1), koju doprinosi svaki član (ima ih K k, a dvojku smo izvukli ispred zagrade kao zajedničkog mnozitelja za preostale članove. Ova formula izgleda mnogo prostije kad se malo sredi i prepiše u obliku:

 

(1/n1+1/n2+1/n3+…)=K/2 – 1      (glavna jednacina, boldovana)

 

Aha! Da bismo mogli da realizujemo Arhimedovo popločavanje pomoću K pravilnih n-tagona (koji mogu da budu različiti), onda treba naći takve cele brojeve n1, n2, n3… itd. (K njih) čiji je zbir recipročnih vrednosti (1/n1 + 1/n2 + 1/n3… K sabiraka) jednak polovini broja sabiraka (K/2) minus 1. Geometrijski problem se ovim sveo na algebarski.

Kako naći te brojeve? Pa, da probamo. Uzmimo za najprostiji slučaj da je n1=3, n2=3, n3=3, itd (tj. da su svi n-tagoni isti i da su u pitanju trouglovi n=3). U tom slučaju treba naći koliko nam takvih trouglova treba (pa, mi već znamo odgovor, ali pretvarajmo se da ne znamo), tj.

1/3+1/3+1/3+…=K/2-1,

S leve strane imamo K identičnih sabiraka (1/3), pa dobijamo K/3=K/2-1, ili K=6. Treba nam 6 trouglova, kao što znamo. Ono popločavanje trouglovima prikazano na samom početku je samo specijalan slučaj (svi n-tagoni isti) Arhimedovog popločavanja. Da probamo sa kvadratima i osmouglovima koji su ilustrovani gore (n1=4, n2=8, n3=8). Imamo 3 n-tougla (K=3), tj. tri sabirka, pa pišemo

1/4+1/8+1/8 = 3/2-1, tj. 4/8=3/2-1, odnosno 1/ 2=1/2.

Sada možemo da probamo i sa drugim brojevima koji mogu da zadovolje onu gore boldovanu jednačinu. Na primer, brojevi 3, 4, 4, 6 ispunjavaju ovaj zahtev, tj.,

1/3 + 1/4+1/4 +1/6=4/2-1

 a ovo daje

250px-Tiling_Semiregular_3-4-6-4_Small_Rhombitrihexagonal.svg.png 

Prema formuli, u svakoj tački se sreću dva kvadrata, jedan trougao i jedan šestougao. Zbir uglova je, naravno, 2x90+60+120=360, kao što treba.

Na prvi pogled moguće je naći mnogo brojeva čiji zbir recipročnih vrednosti zadovoljava onu gore boldovanu jednačinu. Međutim, setimo se da je trougao poligon sa najmanjim unutrašnjim uglom (60 stepeni) – svi drugi pravilni n-touglovi ima veći unutrašnji ugao - pa je broj n-touglova koji se mogu sresti u jednoj tački ograničen brojem 6, tj. K< 6. Ovim se broj različitih regularnih Arhimedovih popločavanja značajno smanjuje. Uz malo matematike moguće je uveriti se da takvih popločavanja ima ukupno 11.

Tragajući za različitim Arhimedovim popločavanjima, čovek ipak mora da bude oprezan. Recimo, možemo da nađemo brojeve koji zadovoljavaju boldovanu jednačinu, ali da regularno popločavanje ipak ne moze da se ostvari. Na primer, probajmo sa poplocavanjem

1/5+1/5+1/10=3/2-1

 tj. sa dva petougla i jednim desetouglom. Jednačina je, formalno, zadovoljena, ali ne postoji način da se dva petougla i jedan desetougao sretnu na svakom cvoristu. Kepler je pokušao, i evo njegove ilustracije iz knjige Harmonices Mundi

aa.jpg

Odlično radi za jedno čvorište, ali ne i za celu ravan – Kepler je morao da ubacuje i neke zvezdice (a to nisu konveksni poligoni). Na sličan način je i Direr pokusao, ali je pokazao da uz pentagone moraju biti ubačeni i drugi oblici

thin.jpg 

(Ova slika je iz njegovog Priručnika za slikare, 1525. godine). Opet nam broj 5 stvara probleme!

Tek je sedamdesetih godina konstruisano popločavanje (Penrose tiling) koje ima petostruku i desetostruku rotacionu simetriju (međutim, popločavanje nije regulano, tj. nema translacionu simetriju – otuda reč kvazi upotrebljena u sledećoj rečenici). Ova matematička konstrukcija dobila je i svoju potvrdu kada su otkriveni fizički kvazikristali, i za to je otkriće prošle godine Dan Shechtmanu dodeljena Nobelova nagrada. Topološke dislokacije u ovakvim kristalima ponekad se koriste kao model kosmičkih struna – topoloških deformacija prostora nastalih hlađenjem svemira.

Odavde možemo da razvijemo priču u različitim pravcima.

Prvo, možemo da pokušamo sa popločavanjem površi u drugim geometrijama (hiperboličkoj, recimo), i ispostavilo se da je tako nešto moguće. Escher je nacrtao veliki broj slika koje počivaju na ovoj geometriju. Evo ga popločavanje hiperboličke ravni petouglovima i trouglovima

images?q=tbn:ANd9GcQX54_OMSC2xrnqYUGuHsGKyCoIG7wppd9p37q4RQDoDUdmB9_htw

 

Drugo, možemo da se vratimo onoj formuli koja nam je poslužila za klasifikaciju Arhimedovog popločavanja. Na osnovu nađenih hijeroglifa i tekstova, sada znamo da su stari Egipćani voleli da izražavaju brojeve pomoću zbira frakcija tipa 1/n (recipročnih vrednosti broja n) – i čak su zahtevali da svi imenioci budu različiti! Na primer, oni 2/3 ne bi pisali kao 1/3+1/3 već kao 2/3=1/2+1/6. Ovaj sistem pisanja je prilično rogobatan, ali u Egiptu tog doba je bio omiljen. Arhimedovo popločavanje kao da se samo nameće.

Međutim, Egipćani su imali nešto sasvim drugo na umu. U njihovoj mitologiji sokolovo oko boga Horusa ima poseban značaj – i matematički i metafizički. Ono se sastoji od 6 delova i svaki deo predstavlja jedan razlomak

images?q=tbn:ANd9GcQhT-Tjful1GJtEHwkb_w4HBGeYfzJlhx6qooKuDkh54WSx4EcH  images?q=tbn:ANd9GcQ%20%C4%91Q3A9IbnXZzGAQ5fUTD5TiHp8usiFMUNAd-B7sR6gflGVXQaimages?q=tbn:ANd9GcQDjQ3A9IbnXZzGAQ5fUTD5TiHp8usiFMUNAd-B7sR6gflGVXQa 

Ovih šest razlomaka takodje korespondira broju čula koje imamo. Šest čula?! Da, za stare Egipćane i mišljenje je čulo.

Najzad, a u vezi sa egipatskim razlomcima, postoji i Erdos-Straus hipoteza koja kaže da broj 4/n može da se napise kao zbir tri egipatska razlomka, tj. da 4/n=1/x+1/y+1/z, gde su x, y i z različiti celi brojevi. Na primer 4/5=1/2+1/4+1/20. Za sada je hipoteza dokazana (pomoću prebrojavanja kompjuterom) za prvih sto milijardi brojeva, ali opšti dokaz ne postoji. Ako imate vremena da se bavite ovom hipotezom i rešite je, dobar ste kandidat da dobijete Fields medalju, najprestižniju nagradu u matematičkim naukama, na kojoj se nalazi Arhimedov lik.

RTEmagicC_6928e8db41_02.jpg.jpg 

Na njoj piše: „Izdići se iznad sopstvenog duha i ovladatii svetom.”

Ako se zaista potrudite i izvedete dokaz brzo, do sledeće godine, to će biti na 2300-godišnjicu Arhimedovog rođenja.

 



Komentari (146)

Komentare je moguće postavljati samo u prvih 7 dana, nakon čega se blog automatski zaključava

freehand freehand 23:41 16.04.2012

Re: A seks?

Vladimir Petorvić
Ja se potrudio da čitam pažljivo, sve očekujući ono gore najavljeno (sex), pored astronomije, nauke i umetnosti, a nisam našao.


nikola_kovac nikola_kovac 23:50 16.04.2012

Re: A seks?

(To što je zanesen čovek istrčao go iz kupatila još nije nikakva aluzija na seks).

Како коме.

myredneckself myredneckself 01:05 17.04.2012

Re: A seks?

nsarski
Ovu legendu sam čuo kao mali...(u ranom detinjstvu sam živeo u kući sa velikim kupatilom urađenim u mozaiku)


A ja je kao mala nisam čula. Tada sam živela na moru, i sada nešto mislim, koliko sam vremena potrošila gledajući u brodove, pitajući se kako oni tako veliki i teški plutaju, a ne potonu
blogovatelj blogovatelj 02:02 17.04.2012

Re: A seks?

Arhimed je izmislio "claw", genijalan kran koji je tamanio rimske brodove


Skoro sve sto je smislio, bilo je za potrebe odbrane od Rimljana. Sicilija je bila poslednje mesto koje su Grci drzali, a on bio ministar odbrane.
Smislio je i jo-jo. Od balvana koji su se rolali niz tvrdjavu, pa ih uzad namotavala uzbrdo, koristeci njihov moment inercije.. Kad Rimljani krenu da se penju uz utvrdjenje, on ih pusti, a onda ih sve depilira jo-jo balvanom sa bedema.
docsumann docsumann 05:14 17.04.2012

Re: A seks?

Skoro sve sto je smislio, bilo je za potrebe odbrane od Rimljana. Sicilija je bila poslednje mesto koje su Grci drzali, a on bio ministar odbrane.
Smislio je i jo-jo. Od balvana koji su se rolali niz tvrdjavu, pa ih uzad namotavala uzbrdo, koristeci njihov moment inercije.. Kad Rimljani krenu da se penju uz utvrdjenje, on ih pusti, a onda ih sve depilira jo-jo balvanom sa bedema.


i sistem ogledala koja su fokusirala svoje odsjaje u jednu tačku na jedru protivničkih galija, uslijed čega bi se ista zapalila ...

no ironija sudbine, rimljani su zbog svega toga htjeli da uhvate Arhimeda živog i da ga transferišu u svoje redove, kao što su amerikanci usvojili fon Brauna.
al' silne pogibje njegovih drugova, užareno sicilijansko sunce i još taj čičica koji, usred borbe, drsko dobacuje - ne dirajte mi moje krugove, su pomračili um legionaru koji mu je eto i došao glave.
mirelarado mirelarado 08:03 17.04.2012

Re: A seks?

docsumann
i sistem ogledala koja su fokusirala svoje odsjaje u jednu tačku na jedru protivničkih galija, uslijed čega bi se ista zapalila ...


Сматра се да је то непотврђена легенда. Ипак, где има дима - има и ватре, па можда и те Архимедове, запаљене помоћу Сунчевих зрака и џиновског шестоугаоног бронзаног огледала, а неки од тог открића и данас очекују да реши енергетску кризу на нашој планети.

nsarski nsarski 08:11 17.04.2012

Re: novi avatar

angie01
NG, ovaj avatar te podmladjuje!


...pa obrisala sam ocnjake u fotosopu!


Nema to veze. Ovaj te otvara u struku. Mladalacki.
Hansel Hansel 08:14 17.04.2012

Re: A seks?

nsarski
To sa seksom je samo marketinski potez...

Marketing je precenjen. A možda i sex?

Nego, hvala (i) za ovaj blog (ne mogu da otvaram novim komentar, ubi me spora veza, pa onda u ovom nizu kvarim zabavu). I, de, reci mi, je l' se to u našim školama u 7. razredu uglovi mere (i) u radijanima? Ja to do srednje nisam bio čuo...
nsarski nsarski 08:18 17.04.2012

Re: Ogledala

mirelarado
docsumann
i sistem ogledala koja su fokusirala svoje odsjaje u jednu tačku na jedru protivničkih galija, uslijed čega bi se ista zapalila ...


Сматра се да је то непотврђена легенда. Ипак, где има дима - има и ватре, па можда и те Архимедове, запаљене помоћу Сунчевих зрака и џиновског шестоугаоног огледала, а неки од тог открића и данас очекују да реши енергетску кризу на нашој планети.


Bili oni iz emisije mythbusters i napravili Arhimedov toplotni zrak prema planovima. I uspeli su da neki drveni brod malo zagreju. Medjutim, da bi drvo planulo (self-combustion) treba temperatura oko 200 stepeni (nesto slicno hartiji) - ovi su ga naterali da tinja. Ali, ali. Da bi to izveli, brod je morao da miruje bar 10 minuta i da nebo bude potpuno vedro. Zakljucak - mozda je i radilo, a mozda i nije.
Eksperiment je kasnije ponovljen, i slican rezultat se dobio.
Zakljucak - ne moze lako da zapali brodove, ali moze da zaslepi mornare (u to doba nije bilo tamnih naocara ) i da ih ometa u navigaciji.
nsarski nsarski 08:21 17.04.2012

Re: <span>Re: A<span id="dtx-highlighting-item" dtx-highlight-backgroundcolor="lime"> se</span>ks?</span>

I, de, reci mi, je l' se to u našim školama u 7. razredu uglovi mere (i) u radijanima?

OK, ne mere se. Ali dovoljno je da kazes Pi=180 stepeni, valjda je svima jasno. Ona formula o unutrasnjim uglovima se sigurno radi i deca je lako izvode. Mislim, dva koraka, chouvece.
antioksidant antioksidant 08:22 17.04.2012

Re: Ogledala

. Da bi to izveli, brod je morao da miruje bar 10 minuta i da nebo bude potpuno vedro

pa radilo je ako su rimljani imali veoma dugu pauzu za ručak
angie01 angie01 08:26 17.04.2012

Re: novi avatar

nsarski

Nema to veze. Ovaj te otvara u struku. Mladalacki.


to mi je i bila namera- ono, bar da mi je avatar lep!
nsarski nsarski 08:28 17.04.2012

Re: Ogledala

pa radilo je ako su rimljani imali veoma dugu pauzu za ručak

Zavisi kada rucaju. Rimljani su nailazili sa istoka, tako da je cela sprava morala da se koristi ujutru cim se sunce malo digne, itd.
vladimir petrovic vladimir petrovic 09:09 17.04.2012

Re: A seks?

Nsarski
... To sa seksom je samo marketinski potez...

Zato sam u tagove ubacio sex.


Hm. Znam jednog veoma učenog tipa koji je rekao da intelektualcima nije potrebno pozivanje na seks, jer od toga postoje interesantnije stvari, he, he, he... (Aldous Huxley: "An intellectual is a person who's found one thing that's more interesting than sex".

Šta mogu, ja čitam i pamtim.
nsarski nsarski 09:49 17.04.2012

Re: A seks?

(Aldous Huxley: "An intellectual is a person who's found one thing that's more interesting than sex".

U nasim krajevima (SRB) se kaze da je tipicni intelektualac covek koji pusi lulu, razgovara mudro, ima umetnike i vidjenje ljude za prijatelje, i ima seks sa zenom jednom mesecno, na perverzni nacin. (Stagod ovo poslednje znacilo.)
draft.dodger draft.dodger 09:57 17.04.2012

Re: A seks?

nsarski
(Aldous Huxley: "An intellectual is a person who's found one thing that's more interesting than sex".

U nasim krajevima (SRB) se kaze da je tipicni intelektualac covek koji pusi lulu, razgovara mudro, ima umetnike i vidjenje ljude za prijatelje, i ima seks sa zenom jednom mesecno, na perverzni nacin. (Stagod ovo poslednje znacilo.)

Milan Novković Milan Novković 09:58 17.04.2012

Re: A seks?

Šta mogu, ja čitam i pamtim

Ih, čitaš i pamtiš, mi smo za faks godina tražili od iskusnih da nam se stvari koje nismo probali, a koje su obećavale, porede sa seksom :)

Pa kad ti kažu da je skijanje skoro ko sex kad ga malo bolje naučiš ti znaš da moraš da probaš, pa postaneš relativno dobar :)

A ako ti kažu da je Huxley super, ali ni nalik seksu ti ostavljaš Huxleya za lower-mojo trenutke
Hansel Hansel 11:35 17.04.2012

Re: A seks?

nsarski
OK, ne mere se. Ali dovoljno je da kazes Pi=180 stepeni, valjda je svima jasno. Ona formula o unutrasnjim uglovima se sigurno radi i deca je lako izvode. Mislim, dva koraka, chouvece.

Nedostajala mi je reč "danas" u pitanju, možda je nešto u programu i promenjeno poslednjih 25-30 godina?

Ako te ne mrzi, daj to izvođenje u dva reda (čouveče ), mada, hm, mogli bismo i sami da proverimo stanje svojih vijuga za matematiku...
nsarski nsarski 11:52 17.04.2012

Re: A seks?

Ako te ne mrzi, daj to izvođenje u dva reda

OK, evo odmah, ne treba ni slika. Zamisli bilo koji pravilni mnogougao, recimo sestougao, a moze i bilo koji drugi.
U centar tog mnogougla stavi tacku. Iz te tacke povuci pravu liniju do svakog temena mnogougla. Dobices da je taj mnogougao izdeljen, kao torta, na trougaone segmente. Tih trouglova ima tacno koliko i stranica mnogougla (nad svakom stranicom je konstruisan trougao).Sestougao se deli na sest trouglova, osmougao na osam, itd. Svaki taj trougao je ravnostrani (te linije od centra do temena su iste duzine), a baza mu je jedna ivica mnogougla.
OK, posmatraj sada jedan takav ravnostrani trougao. On ima jedan ugao na temenu u centru i dva jednaka ugla na bazi.
Koliki je ugao na temenu u centru? Pa, posto ima n identicnih takvih uglova (od n trouglova koje smo konstruisali), onda je taj ugao = 360/n - moraju da popune pun krug, a tih trouglova ima n komada, i svi su isti.
Koliki je ugao na bazi? Pa, mi znamo da je zbir uglova u trouglu 180, i da su dva na bazi jednaka, oznacimo ih svaki sa f, tako da 360/n+2xf=180. Iz ovoga odmah sledi da je 2xf=180(1-2/n). A 2xf je tacno jednak unutrasnjem uglu poligona. Dakle
2xf=(1-2/n)180, ili (1-2/n)Pi, ako hoces u radijanima.
Hansel Hansel 13:51 17.04.2012

Re: A seks?

Sad mi krivo što nisam i sâm pokušao. Nekako mi malo zamro taj "refleks", a nekad se dobijale nagrade na takmičenjima...
nsarski nsarski 14:58 17.04.2012

Re: A seks?

Nekako mi malo zamro taj "refleks", a nekad se dobijale nagrade na takmičenjima..

Moj ti je savet da obnovis gradivo. Evo, ja znam jednog decka koji je dobro naucio razne dokaze iz matematike, posebno ovaj koji sam pomenuo, i sada ga sve njegove vrsnjakinje zatrpavaju sms porukama, pozivaju i prozivaju. Valjda da uce zajedno. Odlikasi, sta da kazem...
docsumann docsumann 18:27 17.04.2012

Re: Ogledala

Bili oni iz emisije mythbusters i napravili Arhimedov toplotni zrak prema planovima. I uspeli su da neki drveni brod malo zagreju. Medjutim, da bi drvo planulo (self-combustion) treba temperatura oko 200 stepeni (nesto slicno hartiji) - ovi su ga naterali da tinja.


koliko se ja sjećam u tom eksperimentu (valjda govorimo o istom) zraci nisu bili fokusirani na trup nego na jedro.
blogovatelj blogovatelj 18:35 17.04.2012

Re: A seks?

i sistem ogledala koja su fokusirala svoje odsjaje u jednu tačku


I katapult.
mnenadic mnenadic 21:00 17.04.2012

Re: novi avatar

Kad si već promenila avatara, mogla bi i nic da promeniš u Vrag001.
Hansel Hansel 22:03 17.04.2012

Re: A seks?

nsarski
Nekako mi malo zamro taj "refleks", a nekad se dobijale nagrade na takmičenjima..Moj ti je savet da obnovis gradivo. Evo, ja znam jednog decka koji je dobro naucio razne dokaze iz matematike, posebno ovaj koji sam pomenuo, i sada ga sve njegove vrsnjakinje zatrpavaju sms porukama, pozivaju i prozivaju. Valjda da uce zajedno. Odlikasi, sta da kazem...

Ma, nije stvar u gradivu (manje-više), eno zimus reših jedan konstruktivni, tj. konstrukcioni zadatak (isto mnogougao, upisan krug, poznata dijagonala... isto VII razred ), nego u živcima za izvođenje formula... to sam omrznuo još od vremena kada je fizičar na prvoj godini tražio da znamo izvođenja uz korišćenje diferencijala i sl., pa su oni koji su hteli da sigurno imaju 5 (ta pitanja su tretirana kao bilo koja druga), morali da to uče napamet. Mož' misliti!

A za ovaj savet koji mi dade, ne znam je l' ima veze s gornjom upitanošću o mogućoj precenjenosti seksa? Imaj u vidu da su ti uzrasti (jako) maloletni (pretera ga malo sa šalom), a za gradivo IV godine bih morao mnogo više da se potrudim!
Jelica Greganović Jelica Greganović 18:04 18.04.2012

Re: A seks?

da stavim "Matematika u kadi", ali sam shvatio da ta m-reč ima da uništi mnogu radoznalu dušu

Možda je moglo i "Kada u matematici"...
mrale54 mrale54 15:31 19.04.2012

Re: A seks?

E, bre, ovom Pizonu sve moras da crtas!

Sex, pa sex!

Pa, lepo rece Arhimed - dajte mi tacku oslonca i pomericu zemlju!

I?

Sta najcesce kazu zene posle fenomenalnog sexa?

alselone alselone 21:53 19.04.2012

Re: A seks?

Sta najcesce kazu zene posle fenomenalnog sexa?


Ne znas?
mrale54 mrale54 05:42 20.04.2012

Re: A seks?

alselone
Sta najcesce kazu zene posle fenomenalnog sexa?


Ne znas?


Ma, znao sam, keve mi, al' memorija pamcenja nesto oslabila pa...reko' da priupitam vas mladje.
Mislim, vi bi to trebali da znate.


49 41 49 41 14:01 21.04.2012

Re: A seks? Arhimedov zakon glasi:

angie01
]
S druge strane, od svega me je najviše obradovalo ovo ukazivanje na EUREKA, EUREKA, u tekstu. Lepo je radovati se.







-Ko se davi nek' se spasi!
alselone alselone 05:01 17.04.2012

(radovan III) EVO RESENJA!

Danas me uhvatili u semu na ulici njih dvojica da mi objasne Teoriju svega, i upecam se kao saran i odgovorim na par gluposti sto su mi rekli u prolazu. Pratili su me 100 metara.

Linak
nsarski nsarski 12:07 17.04.2012

Re: (radovan III) EVO RESENJA!

alselone
Danas me uhvatili u semu na ulici njih dvojica da mi objasne Teoriju svega, i upecam se kao saran i odgovorim na par gluposti sto su mi rekli u prolazu. Pratili su me 100 metara.

Linak

Tako ti i treba kad filozofiras sa ljudima neodgovarajuceg denziteta!
dragoljub92 dragoljub92 05:58 17.04.2012

e...

jinks jinks 08:32 17.04.2012

...

Da li postoji sličan račun za trodimenzionalno popločavanje, kojim bi diskretnim poligonima mogao da se poploča čitav prostor.

Nešto na tu temu je govorio i Platon, definišući 4 poligona od kojih je popločan čitav univerzum ... gde je opet Platon ta 4 poligona na neki način doveo u vezu sa 4 osnovna elementa u prirodi - vodu, vatru, vazduh i zemlju. Opet, neki savremeni istraživači su još konkretniji - oni 4 Platonova poligona po nekoj logici bliskoj hemiji i atomskoj strukturi elemenata, dovode u vezu sa osnovnim gradvinim elementima svemira - vodinik, helijum, ... ne znam da li i voda ulazi ponovo u taj skup od četiri.

p.s.

Kada ste pomenuli egipatske razlomke, pomislih da postujem sliku Horusovog oka, ali vidim da ste me pretekli :) Ipak, jedna dopuna. Pojedinačni simboli od kojih je sačinjeno Horusovo oko, a koji odgovaraju određenim razlomcima inače su se u egipatskoj hieroglifici koristili kao simboli tih određenih razlomaka.



Inače, Stari Egipćani se nisu zadržavali samo na simboličkom povezivanju određenih razlomaka sa pojedinim čulima, već je aritmetika sa upravo tim razlomcima omogućavala da se pojedine pojave, što kažete pa gotovo metafizički, definišu nekom "čulnom aritmetikom", koliko god to zvučalo pomalo besmisleno, pošto skup "čulnih" razlomaka predstavlja skup ortogonalnih binarnih razlomaka (oblika 1/2^n), na koje mogu da se razlože svi ostali razlomci (nešto kao 0.1, 0.01, 0.001, ... u dekadnom sistemu).

Postoji čak i priča da je Pitagora bio pod velikim uticajem te egipatske aritmetike čulnih razlomaka iz Horusovog oka, i da je iz jedne od njegovih računica u tom brojnom sistemu ispala diatonička muzička skala, odnosno niz razlomaka ne koje je Pitagora pokušao da razloži sve oko sebe, odnosno još svedeniji skup razlomaka od kojih se po njemu sastoji sve oko nas (1/2, 2/3, 3/4 ... ili tako nešto).

Interesantno je bilo to antičko vreme :)
nsarski nsarski 08:43 17.04.2012

Re: ...

Nešto na tu temu je govorio i Platon, definišući 4 Platonova poligona od kojih je popločan čitav univerzum ... gde je opet Platon ta 4 poligona na neki način doveo u vezu sa 4 osnovna elementa u prirodi - vodu, vatru, vazduh i zemlju.

Da, u pitanju je popunjavanje prostora pomocu tzv. Platonic solids. To su tetraedar, kvadar, itd., tela cije su pljosni ravnostrani poligoni. To je velika i interesantna tema, ali malo suvise za ovoaj blog. Ima, naravno, i poplocavanje (tehnicki, sve se ovo zove teselacija) raznih drugih povrsi - sa rupom i bez nje, itd. Evo ti teselacija povrsi sa tri rupe (dobija se posebnim slepljivanjem strana na hiperbolickoj ravni) - ova kompaktna povrs je opisana pomocu tzv. Klein quartic vu^3+wv^3+uw^3=0.
Ovo je poplocavanje te povrsi trouglovima

jasnaz jasnaz 09:33 17.04.2012

: prijatno :)

nsarski



nsarski nsarski 09:36 17.04.2012

Re: ...

Interesantno je bilo to antičko vreme :)

Onaj simbol pored koga stoji upitnik (?) je 1/8, mislim.
jinks jinks 09:43 17.04.2012

Re: ...

Video sam sliku koju ste postavili kasnije u jednom od komentara na blogu, gde je "misao" obelezena sa 1/8
nsarski nsarski 10:11 17.04.2012

Islamic tiling artists

Zaboravio sam da pomenem tradiciju patterninga i poplocavanja u islamskoj kulturi. Postoji cela matematika njihovih patterna, simetrija, itd. Nekad se radi o plocicama, ili drvetu, ili sarama na cilimu. Evo jedan dobar link:
Maths and Islamic art & design i par slika
niccolo niccolo 10:17 17.04.2012

Re: Islamic tiling artists

Zaboravio sam da pomenem tradiciju patterninga i poplocavanja u islamskoj kulturi.

Tja, taman sam ja hteo to da pomenem...Sad ništa
docsumann docsumann 17:42 17.04.2012

Re: Islamic tiling artists

Zaboravio sam da pomenem tradiciju patterninga i poplocavanja u islamskoj kulturi


upravo su mavarska popločavanja podova i zidova šarenim komadima keramike, prije svega u Alambri (Španija), bila inspiracija Ešeru za njegove pravilne podjele ravni, a za koje je sam rekao da su mu najbogatiji izvor inspiracija na koji je ikad naišao.
rade.radumilo rade.radumilo 10:54 17.04.2012

Zlatna kruna i majstor

Fali parče te priče o Arhimedu:

Dotični vladar je pozvao majstora koji je izradio krunu i optužio ga je da je u zlato dodao i određenu količinu srebra. Majstor je odgovorio da je tačno da je dodao srebro i da je to učinio zato što bi se kruna od čistog zlata brzo deformisala ili polomila, budući da je zlato izuzetno mekan metal. Otuda se u zlato uvek dodaje:
- bakar (žuto zlato)
- srebro (belo zlato).
Idealan odnos zlata i drugih metala u leguri, majstori iskustveno poznaju mnogo pre nego se Arhimed pozabavio tom pričom.

Da parafraziram prof. dr. Antonija Đorđevića (ETF - UnBg):
- Kada svi znaju kako i zašto bi nešto trebalo da funkcioniše, to je: nauka.
- Kada svi vide da nešto funkcioniše, a nemaju pojma kako i zašto to je: tehnika.
blogov_kolac blogov_kolac 14:27 17.04.2012

Pronađeno rešenje za ovaj naš problem - EU

Pa ovo vec pocinje da gubi svaki smisao koliko nas na ovom blogu sprecavaju da se slobodno izrazavamo! Ja hteo da objavim u naslovu "Pronađeno rešenje za ovaj naš problem - EUREKA!!!", kad ono cenzurisu nam sve naslove na maksimalnu duzinu od 42 znaka, i oni koji me ovde ne znaju jos ce pomisliti kako eto vrsim politicku propagandu i agitaciju cak i na ovakvoj jednoj naucno-zabavnoj temi, jer mi je naslov bas tako nezgodno protiv moje volje skracen, da citalac moze svasta da pomisli!

Istina, problem bas i nisam skroz resio, ali jedan kvalitetan naslov da bi privukao paznju na tekst na koji se odnosi i zaintrigirao potencijalne citaoce moze i da precuti poneki detalj - a ja jako drzim do kvaliteta naslova koje odabirem, dok je realno za ceo sadrzaj teksta to jako tesko postici, jer je ipak potrebno previse paznje da bi se odrzao visok nivo - a i kao veliki patriota ja se drzim zlatnog pravila domaceg novinarstva o vaznostima pojedinih delova tekstova koji se svodi na jednostavnu i dobitnu formulu, potpuno prilagodjenu prosecnom domacem "citatelju": 50%-naslov / 50%-ostatak. I ja se ovde kao jos nadam da cu dobiti autorsku opciju, a ovamo nemam prava ni najobicniji naslov za komentar da formulisem kako hocu!?

Elem vratimo se problemu, i ovim egipatskim razlomcima (khm... khm... mnoge stvari koje su poznate odvajkada nekriticki se vezuju po inerciji za Egipcane - a bas me zanima sta ce se desiti kada se konacno dokaze da ima jedan jos stariji narod od njih!). Ako nam je uvazeni autor ovog bloga vec pokazao da
4/n = 1/x + 1/y + 1/z npr za n=5 ima resenje x=2, y=4, x=20, lako cemo naci resenje za svako n deljivo sa 5, jer za svaki broj sa kojim umanjimo 4/5, automatski umanjimo sa desne strane svaki od razlomaka 1/2, 1/4 i 1/20. Tako su onda za n=2x5 resenja x,y,z 2x2, 2x4 i 2x20, a za n=3x5 odgovarajuca x,y,z resenja 3x2, 3x4 i 3x20 ...itd Ako znamo da je tamo neki zaludni superkompjuter vec izracunao za prvih 100 milijardi n-ova odgovarajuce x,y,z, to znaci da x,y,z resenja vec u startu postoje i za sve brojeve vece od 100 milijardi koji imaju barem jedan prost umnozak manji od 100 milijardi (tj za koji vec znamo da ima svoje x,y,z). Posto mene slava ne zanima, ali volim da pomazem ljudima, evo ostavljam vama ostalima da se pozabavite sa onim preostalim (mahom dzinovskim prostim) brojevima koje pomocu kompjutera i ovog mog zapazanja jos nisu odbaceni... zelim vam puno srece i uspeha.



Черевићан Черевићан 20:56 17.04.2012

Noli tangere circulos meos

умео је умни Старац
да закукуљи проблеме
векови се смачињаше
нама ето још трају дилеме
nsarski nsarski 13:22 18.04.2012

Re: Noli tangere circulos meos

Черевићан
умео је умни Старац
да закукуљи проблеме
векови се смачињаше
нама ето још трају дилеме


Gosn Cher, hvala na javljanju. Jedan moj profesor na studijama je imao obicaj da kaze (izvodeci neke komplikovane formule): "Ovo je moguce izracunati zahvaljujuci otkricima nekog mrtvog genija." Znali su oni, znali...samo mi smo nezahvalni.
Jelica Greganović Jelica Greganović 01:20 19.04.2012

Re: Noli tangere circulos meos

Arhiva

   

Kategorije aktivne u poslednjih 7 dana

Najaktivniji autori u poslednjih 15 dana