Ménage à trois

  Kompjuterski generisane putanje tri masivna tela pod dejstvom uzajamnih gravitacionih sila

Zamislite da ste Bog i da živite u potpuno praznom prostoru, beskonačnom u svim pravcima. To je sve – nema zvezda, nema planeta ili galaksija, samo prazan prostor svugde oko vas. I onda, jednoga dana, iz čiste dosade, ili možda inspirisani nekom božanskom vizijom, odlučite da naselite ovaj prostor nečim - planetama, recimo, ili zvezdama ili kometama, ili bilo čim sličnim što vam golica maštu. Ali, to želite da uradite na sistematski način, korak po korak. Uostalom, vi ste Bog i želite da imate punu kontrolu nad događanjima u svemiru.

I tako, za početak, stavite jedno masivno telo, recimo planetu, u ovaj beskonačan i prazan prostor, a možete malo i da je pogurate ako želite. Šta će se dogoditi? Pa, ništa posebno, zaista. Ta planeta će da održava svoje stanje kretanja večno: ili će da miruje ispred vas, ili, ako ste je malo pogurali, nastaviće da se udaljuje od vas po pravolinijskoj putanji, istom onom brzinom kojom ste je gurnuli na početku. Nema nikakvih drugih tela u prostoru sa kojima bi mogla da se sudari, ili koja mogu da joj promene brzinu ili putanju. Ovo znamo zato što nam je Njutn to rekao u svom Prvom zakonu kretanja: u odsustvu spoljašnjih sila, telo će da održava svoje stanje kretanja (učeni izraz je “količina kretanja” ili impetus) večno. Tako da će vaša planeta da se udaljava od vas na jednoobrazan način, sve dok ne ode iz vidokruga.

Posle nekog vremena uvidite da samo jedno telo baš i nije neki Svemir,  i onda odlučite da stvorite dva masivna tela i pustite ih da se kreću kroz prazan prostor. U ovom slučaju, dva masivna tela se privlače gravitacionom silom koja je srazmerna proizvodu njihovih masa, i obrnuto srazmerna kvadratu rastojanja između njih (ovo takođe znamo zahvaljujući Njutnu i njegovom zakonu univerzalne Gravitacije).  Usled dejstva ove sile, tela će uticati jedno na drugo, menjajući i savijajući svoje putanje, menjati brzine i,  generalno, slediti komlikovane trajektorije u prostoru.

Zahvaljujući ovome, možete malo da se igrate sa ovim Svemirom od dva tela, bacajući tela u razlicitim pravcima i različtim početnim brzinama, da vidite šta će se dogoditi. Posle malo eksperimentisnja, uvidećete da se mogu dogoditi samo dve stvari.

1.    Ako tela bacite suviše brzo, ona mogu da malo zaokrenu jedno oko drugog, a onda se razlete u beskonačnost i da se više nikad ne vrate.

2.    Ali, ako im u početku date pogodne brzine, gravitaciona sila njihovog uzajamnog privlačenja može da bude dovoljno jaka da ih spreči da se razlete, i tela će početi da se okreću jedno oko drugog, na periodičan način.

U ovom drugom slučaju, a u zavisnosti od odnosa njihovih masa, mogu da se okreću ovako (kada su im mase iste ili slične) :

ili ovako (kada su im mase upadljivo različite) :

Naravno, hteli biste da znate na koji način da pokrenete tela kako bi postigli željeni rezultat. Da to iskažemo precizno, pitanje je: koji su tačni početni uslovi (početne brzine, početni položaji) koji će dovesti do ovih različitih scenarija? Pošto ste Bog, vi svakako znate da je ovo pitanje, zapravo, formulacija gravitacionog problema dva tela koje je u potpunosti rešio Kepler pre mnogo vekova.

Kepler je bio briljantni naučnik koji je uvideo da apsolutne vrednosti brzina dva tela u ovom problem nisu mnogo važne, i da je njihova relativna, ili uzajamna, brzina od suštinskog značaja. On je rešio problem tako što je zamislio da se stavio  položaj jednog tela – iz ovog referentnog sistema gledano to telo se ne kreće – i posmatrao drugo telo kako prolazi. Pošto je napisao i rešio odgovarajuće jednačine kretanja, Kepler je došao do sledećeg zaključka: bez obzira na to kojom brzinom se drugo telo kreće, ono će se uvek kretati putanjom koja je u matematici poznata kao konusni presek.
Konusni preseci. Slike 1 i 3 odgovaraju paraboličnim i hiperboličnim krivama, slika 2 predstavlja krugove i elipse.

Konusni presek je kriva koja se dobije kada presečete kupu nekom ravni. Ako je ravan paralelna sa osnovom kupe, ili, ekvivalentno, normalna na visinu kupe, dobiće se krug. Ako tu ravan naginjete, taj kug se pretvara u elipsu, i, naginjući je još, elipsa postaje sve izduženija (tehnički izraz je da postaje “ekscentričnija”). Jednom kada je ugao nagiba jednak uglu kupe, rezultujuća kriva više nije zatvorena, i dobijete parabolu. Ako nastavite da naginjete ravan preseka, ova parabola postaje hiperbolička kriva (hiperbola). Krugovi, elipse, parabole i hiperbole zovu se konusni preseci. Prve dve su zatvorene krive, preostale dve su otvorene.

Dakle, ako brzina drugog tela nije suviše velika, ono će biti uhvaćeno u zatvorenu orbitu prvog tela, najčešće eliptičnog oblika, i nastaviće da se kreće na ovaj način zauvek. Ako je brzina suviše velika, drugo telo će samo zaokrenuti oko prvog tela po parabiličkoj/hiperboličkoj putanji i odleteti u beskonačnost.

U svoje vreme, Keplera su zanimale orbite planeta u Sunčevom sistemu, tako da su njegova “dva tela” bila Sunce i jedna od planeta. Kada je rešio ovaj problem dva tela, Kepler je mogao da formuliše Keplerov prvi zakon kretanja planeta koji kaže: planete se kreću oko Sunca po eliptičnim putanjama, a u žiži svake elipse nalazi se Sunce. Naravno, možete s pravom da kažete da se u Sunčevom sistemu nalazi mnogo više od dva tela, tako da bi gravitacioni uticaj tih drugih tela morao da se uzme u obzir.  Srećom, gravitaciona sila Sunca je daleko najjača sila u Sunčevom sistemu, tako da drugi uticaji mogu da se zanemare u prvoj aproksimaciji. Kasnije ćemo se ipak vratiti ovom pitanju.

Upoređujući svoje proračune sa astronomskim podacima, Kepler je ustanovio da se sve planete kreću po eliptičnim putanjama, kao što račun predviđa. Ove putanje su, često, gotovo kružnog oblika – ekscentričnost Zemljine orbite je samo oko 3%, na primer – i sve približno leže u istoj ravni, zvanoj nepromenljiva ravan rotacije. (Zanimljivo je da mnoge druge kompleksne strukture u svemiru pokazuju sličnu osobinu: kod mnogih rotirajućih galaksija materija se kreće oko centra galaksije u približno jednoj ravni). Štaviše, ovo dinamičko uređenje Sunčevog sistema deluje stabilno, ili je barem bilo stabilno poslednjih nekoliko milijardi godina.

Naoružani ovim znanjem, možete se zabavljati posmatranjem svog Svemira od dva tela, i pratiti kako se dve planete večno okreću jedna oko druge, na ponovljiv način.  Razume se, možete da promenite njihove brzine ili rastojanja kako biste dobili različite orbite, ali nihova kosmička igra će, u suštini, ostati ista.

Uz svu ovu zabavu, može vam doći ideja da ubacite i treće telo u igru, tek da podignete uzbuđenje i vidite šta će se desiti.  Drugim rečima, stvorite tri masivna tela, pustite ih da se kreću kroz svemir, i gledate da li će se smiriti u nekom režimu uzajamnog kruženja.

Ispostavlja se, međutim, da je ovaj problem tri tela izuzetno komplikovan. Zaista, neki od najvećih umova u istoriji nauke pokušavali su da ga reše – uključujući tu Ojlera, Laplasa, Lagranža i Puasona – i ni jedan nije uspeo.  Pri strogo kontrolisanim uslovima, kada je kretanje ograničeno na jednu ravan, ili kad su dva tela fiksirana u jednom položaju, ili kada jedno telo ima masu koja je zanimarljivo mala u odnosu na mase druga dva, rešenje može da se pronađe. Ali, u opštem slučaju, problem tri tela nema rešenje.

Bez obzira koliko pokušavali podešavajući početne brzine, ili mase, ili početna rastojanja, gotovo nikad nećete videti da se tri tela kreću na konačnom rastojanju jedno od drugog u ponavljajućoj petlji. Štaviše, može se desiti da tela počnu da se kreću na nepredvidljiv, čak haotičan način neko vreme, a onda se razlete i potpuno naruše neko privremeno stanje. Ovo je mogućno zbog toga što je problem tri tela u suštini nelinearan dinamički sistem i bilo koja, makar i najmanja, perturbacija vremenom počinje da se pojačava tako da kasnije izazove veliki poremećaj u uređenom kretanju. Ovo je, na svoj način, slično “efektu leptira” zbog kojeg je nemoguće praviti dugoročne vremenske prognoze.

Razvojem savremenih kompjutera,  istraživači ovog problema uspeli su da pronađu neke nove stabilne koreografije kosmičke igre tri tela. Na primer, koreografija “osmice”, u kojoj se tri tela periodično kreću po ovoj brojki, stabilna je.

Ovo kretanje može da se postigne samo ako se kretanju ovih tela nametnu stroga ograničenja.

Slika na početku ovog teksta prikazuje kompjuterski generisano kretanje tri tela uporedive mase. Može se videti da su njihove putanje nepravilne, mada konačne, tokom prvih nekoliko rotacija. Šta će se desiti sa ovim režimom posle dovoljno dugo vremena, niko ne može da predvidi.

Razume se, nije onda iznenađenje što nailazimo na sličnu situaciju kada posmatramo kretanje četiri ili više tela. U opštem slučaju, takvi problemi više tela ne mogu da se reše uz proizvoljno zadate početne uslove.

Imajući sve ovo u vidu, možete napraviti očajnički pokušaj da stvorite ogroman broj tela, svih veličina, razbacate ih svud po svemiru na slučajan način, i date im sve moguće početne brzine, očekujući da će barem neki od njih, u nekom udaljenom kutku Svemira, formirati stabilnu koreografiju kosmičke igre, kakva nikad ranije nije viđena. Pa, malo je verovatno da će se to desiti, ali i kada bi se desilo, i bez obzira na to što ste vi Bog, to nikada nećete moći da znate unapred.

P.S. Nakon što je ovaj tekst napisan, otkrivena je planeta, oko 6 puta masivnija od Zemlje, čije nebo obasjavaju čak četiri zvezde istovremeno. Naime,  planeta PH1 koja je udaljena oko 5000 svetlosnih godina od nas, orbitira oko jednog para zvezda, a oko celog ovog aranžmana orbitira još jedan par zvezda. Nešto nalik situaciji prikazanoj na donjoj slici.

Ovo je prvi put da je takva konfiguracija viđena u svemiru.

Na sličan način, pre neki dan je otkrivena planeta, udaljena oko 100 svetlosnih godina od nas, “siroče” koje luta svemirom bez sunca da ga obasjava.

Rekao bih da smo tek na početku otkrivanja kosmičkih koreografija koje naša mašta i naše jednačine još ne mogu da predvide.

 *** Ovaj tekst je originalno napisan za portal Q-sphere, ali odlučio sam da ga i ovde postavim. Q-sphere portal će se zvanično pojaviti za par nedelja, pa je ovo prilika da steknete makar mali utisak o njegovom budućem sadržaju.