Gomboc na izložbi u Šangaju. (Veličina silueta ljudi s desna daje predstavu o njegovoj dimenziji.)
Na mađarskom, reč gomboc znači “loptica”, a ponekad se u Vojvodini taj naziv koristi za “knedlu”. E, ovo je tekst o jednoj posebnoj knedli, njenim matematičkim i geometrijskim osobinama, i tome kako je jedna knedla (prikazana na slici) postala zaštitni znak mađarskog paviljona na Svetskoj izložbi 2010. godine u Šangaju.
Najvažnija osobina ove knedle je njen pomalo čudan i jedinstven oblik koji je otelotvorenje jedne matematičke teoreme, a matematiku samo arhitekte umeju da pretvore u realan objekat, ili predmet, jer arhitektama se svašta vrzma po glavi.
Fizički, gomboc ne izgleda neobično: pomalo liči na nepravilno jaje sa oštrim ivicama; i samo tako stoji, kao neki glupi držač za papir, ne pomerajući se. Međutim, ovo je prividno. Ako bismo postavili gomboc na ravnu podlogu, u bilo koji položaj sem u ovaj prikazan, on bi oživeo – počeo bi da se okreće, prevrće i namešta sve dok se ne bi vratio u svoj prirodni položaj stabilnosti kao na slici. Ključna reč ovde je stabilnost: gomboc je prvi i, za sada, jedini trodimenzionalni oblik koji ima samo jedan položaj stabilnosti. Kako god ga drugačije postavili, on će se, na sistematski način, prevrtanjem i okretanjem, u svoj stabilni položaj vratiti.
To za druge čvrste predmete ne važi: uzmite bilo koji drugi predmet, pravilan ili ne (recimo, kamen sa morske obale, ili ciglu, ili bilo šta što vam je pri ruci), i moći ćete da ga postavite na više načina (najmanje dva) na ravnu podlogu tako da on u tom položaju stabilno stoji. Recimo, ciglu možete da postavite na šest načina, na svako lice, i ona će u tom položaju ostati. Loptu, ili kliker, možete da postavite kako god želite – ona ima beskonačno mnogo položaja neutralne stabilnosti. Itd. Ali to nije sve.
Sećate se priče o Kolumbovom jajetu?
Kolumbo je izazvao svoje društvo za trpezom da postave jaje na sto tako da ono stoji na svojoj “šiljatoj” strani. Razume se, niko nije uspeo i onda je Kolumbo malo kucnuo šiljatu stranu jajeta o sto, razbio mu ljusku da na toj strani bude stabilno, i ono je tako ostalo. Poenta je da šiljati kraj jajeta nije tačka stabilnosti, ali deformacijom ona to može da postane, kako je Kolumbo pokazao.
Jaje ima beskonačno mnogo tačaka stabilnosti na kojima može stabilno da stoji: donju, tupu stranu, i bilo koji položaj postrance. Šiljati vrh mu je nestabilna tačka, tj. bez razbijanja ono ne može na vrhu da stoji. Ovde se misli na jajasti oblik a ne na pravo jaje, jer u pravom jajetu unutrašnji material nije homogeno rasporedjen. Gomboc ima jednu, i samo jednu, tačku stabilnosti i jednu nestabilnosti (ova se nalazi na grebenu gornje strane). Takvi se predmeti, ili oblici, zovu mono-monostabilni, a za njihovo postojanje se do skora nije znalo. Ali, pođimo redom.
Početkom 20. veka, 1909. godine, indijski matematičar Syamadas Mukhopadhyaya dokazao je tzv. Teoremu četiri verteksa koja kaže: krivina svake glatke zatvorene krive u ravni ima najmanje četiri verteksa. U ono vreme se umesto izraza “minimum” ili “maksimum”, zbirno nazvani ekstremum, koristio izraz “verteks”.
Običnim rečima iskazano, ovo znači sledeće: zamislimo bilo kakvu zatvorenu krivu liniju u ravni. U svakoj tački te linije možemo da joj izračunamo krivinu (ovo je srednjoškolska matematika!); recimo, krivina kruga je konstantna, krivina elipse nije, jer elipsa ima dva šiljata kraja (tu je krivina najveća) i dva tupa kraja (tu je krivina najmanja), itd. Teorema kaže da krivina svake zatvorene krive linije ima najmanje četiri lokalna ekstrema. Na primeru elipse, to izgleda ovako
Elipsa i njena krivina
Na gornjoj slici je prikazana elipsa, a na donjoj se vidi kako se njena krivina menja dok obilazimo oko elipse. Strelice na donjoj slici pokazuju položaj ekstrema (minimuma ili maksimuma) krivine elipse i njih ima četiri ( prva i poslednja strelica se poklapaju, kao što se poklapa mapa sveta kada je zavijemo u krug). Teorema kaže da bilo koja glatka zatvorena linija u ravni ima najmanje četiri ekstrema krivine.
U praktičnom smislu, ova teorema ima sledeću posledicu. Zamislimo novčić čiji je obod neka zatvorena kriva, elipsa, na primer – tj. novčić u obliku elipse. Onda takav novčić možemo da postavimo vertikalno na ravnu podlogu da stabilno stoji na dva načina – kada ga namestimo da tačke dodira sa podlogom budu tačke njegove najmanje krivine, kao onu elipsu na slici gore. On, razume se, može da se postavi i na tačke sa najvećom krivinom (kao kad elipsu postavimo uspravno), ali ti položaji nisu stabilni. Ukratko, ovakav novčić ima dve stabilne i dve nestabilne tačke ravnoteže kad se postavi na ravnu podlogu. Novčići drugog oblika mogu da imaju više tačaka ravnoteže, stabilne ili nestabilne, ali moraju da imaju najmanje četiri.
Verovalo se da slična tvrdnja važi i za trodimenzionalne objekte, ali pomišljalo se da je moguće da postoje trodimenzioni objekti sa samo jednom tačkom stabilne ravnoteže. Naime, u odnosu na dvodimenzionalne objekte, trodimenzionalni predmeti imaju još jednu dodatnu dimenziju, ili stepen slobode kretanja, koja im omogućava da se kroz nju lakše pretumbaju iz položaja stabilnosti.
Tek je 2005. godine pokazano da takvi trodimenzionalni objekti zaista postoje, ali matematika ovog dokaza je složenija, pa se u nju nećemo upuštati (za posvećene, dokaz se izvodi iz Poenkare-Hopfove teoreme), a 2007. godine je takav predmet i fizički napravljen i nazvan je gomboc. Konstrukciju su izvela dva mađarska matematičara/građevinca, te odatle naziv.
Gomboc nije jedinstveni mono-monostabilni predmet: postoje i malo drugačiji, njemu slični, tj., detalji mogu donekle da se razlikuju. Fizička konstrukcija gomboca je, međutim, prilično teška. Pri njegovoj izradi, matematička proporcionalnost oblika, za gomboc veličine od 1m, mora da se održava s tolerancijom od 10 mikrona. Zato, ako želite da kupite gomboc da vam služi kao držač za papir, ili kao suvenir, spremite se da potrošite oko 200 eura, pa i više.
Gomboc, koji je bio maskota u mađarskom paviljonu na Svetskoj izložbi 2010. u Šangaju (prikazan na prvoj slici gore), veličine je oko 1.5 m i prava je ilustracija naučno-praktičnog uspeha: naučno je pokazano da je takav mono-monostabilni predmet moguć, a praktično je potrebna izuzetna mehanička preciznost da se takav predmet proizvede od homogenog materijala.
U prirodi, među kamenčićima na plaži, na primer, gomboc oblik je teško naći. Usled sudara sa drugim kamenjem, on izgubi svoj precizan oblik, i vise nije gomboc. Ali, za svoje postojanje, kamenu i nije bitno da leži na nekoj posebnoj strani. Medjutim, neke vrste kornjača imaju, grubo uzev, oblik gomboca koji im omogućava da se, ako ih prevrnete na ledja, uz malo truda lako vrate u ispravan položaj.
Gomboc kornjača
Posle mnogo godina i mnogo pokušaja, evolucija je proizvela gomboc oblik od kojeg ova životinja ima praktičnu korist i biološku prednost.
Druge vrste kornjača, čiji oklop ima oštre ivice, obično imaju i duže vratove ili noge pomoću kojih se vrate u ispravan položaj.
Mi živimo u promenljivom svetu i, pod uticajem ovih promena, predmeti, stvari i oblici se tumbaju i prevrću, stoje neko vreme u jednom položaju, pa se onda okrenu u drugi, kad neki novi vetrovi naiđu, i tako u beskraj. U svetu oblika, jedino gomboc, kao onaj Monolit u Kjubrikovoj Odiseji 2001, stoji stabilno na isti način, ništa ne može poremetiti njegov budistički mir.
*** Ovaj tekst je originalno napisan za portal Q-sphere, ali odlucio sam da ga i ovde postavim. Q-sphere portal ce se zvanicno pojaviti za par nedelja, pa je ovo prilika da steknete makar mali utisak o njegovom buducem sadrzaju.
Blogovi autora
- Kako je nastao krug dvojke? (396)
- Riznica igara (160)
- Under the volcano – izbori na Martiniku 1902. (161)
- Nobelova nagrada iz fizike za 2021. godinu (364)
- Fala Kurzu! (175)
- Vlaho (1855-1922) (117)
- Пропис или опис, питање је сад? (271)
- Умро је друг Тито! (1114)
- Ове улице знају моје кораке... (509)
- Under the volcano – izbori na Martiniku 1902. (96)
- John Horton Conway (26.12. 1937 – 11.04.2020) (156)
- Plus ça change plus c'est la même chose (367)
- 2020 (663)
- Грофовска књижевност – покушај једног упита (28)
- Vlada Petrić 1928-2019 (52)
- Hiroshima mon amour (507)
- Dark Lady (110)
- Kolacova pretpostavka (167)
- Big, really BIG (152)
- Filmičan (332)
Najnovije VIP blogeri
- Dovidjenja, gospodine Bobicu!
angie01 - Klasicna tema- Beograd, popodne i gitare
jednarecfonmoi - Fragmenti stvarnosti u opštem prividu
Hansel - Horizontala, koja ne da vertikali da se vidi
angie01 - СРБИЈА ‒ ЗАЈЕДНИЧКА ДОБРОБИТ И КАЗНА
Predrag Brajovic - Lični izbori
njanja_de.manccini - Džez kao religija
Ivan Blagojevic - Diznijev svet
jinks - ovde je nigde dobro mesto ...
Đorđe Bobić - вабомамом спојке сунчане
Черевићан
Najnovije blogeri
- ŽUTA OSA (8/24)
horheakimov - DUB PUB: Milion kvadrata
docsumann - Dokon um đavolje igralište
zilikaka - НАЦРТ РЕЗОЛУЦИЈЕ О ГЕНОЦИДУ У СРЕБРЕНИЦИ
Filip Mladenović - DUB PUB: A Bright New Day Is Coming
docsumann - Srbija u EU i NATO do 2030...
Filip Mladenović - DUB PUB: Woman, Hey
docsumann - DUB PUB: No Love, No Home
docsumann - ŽUTA OSA (7/24)
horheakimov - Hronologija antipatriotizma...
Filip Mladenović
Arhiva
Kategorije aktivne u poslednjih 7 dana
- Eksperimenti u blogovanju (4)
- Muzika (3)
- Zabava (2)
- Reč i slika (2)
- Hobi (2)
- Mediji (2)
- Moj grad (2)
- In memoriam (1)
- Društvo (1)
- Kultura (1)
Najaktivniji autori u poslednjih 15 dana
SRPSKI / ENGLISH
INFO TV RADIO VIDEO B92.FM SPORT PUTOVANJA BIZ POSLOVI MAPE ŽIVOT KULTURA BLOG FORUM TEHNOPOLIS AUTOMOBILI SHOP MUSIC vrh strane© 1995 - 2009, B92 | Kontakt | O nama | Impresum | B92 lica | Pravila korišćenja
B92 je organizacija koja brine o zaštiti životne sredine.
Mi ublažavamo štetu nastalu zagađenjem u avio-saobraćaju i ulažemo napore da se smanji emisija izduvnih gasova.
climatecare.org