Eksperimenti u blogovanju| Nauka| Zabava| Život

Monti Hol, ili zašto kucamo na pogrešna vrata?

/ 13.01.2010. u 00:49

Komentari: 227
Čitanost: 35848
/
Preporuke: 11880
/

Pokušavam ovih dana da napišem blog o jednom teškom matematičkom problemu, pa sam u predahu razmišljao o tome šta je u matematici ljudima intuitivno prihvatljivo, a šta ne. Naime, mi smo svakodnevno suočeni sa potrebom da pravimo procene, da u nedostatku kompletne informacije nagadjamo ishode dogadjaja, ili, naprosto da igramo na sreću. Takodje je poznato da smo u toj proceni verovatnoća prilično loši matematičari, ali se ipak oslanjamo na to svoje " intuitivno čulo", ponekad sa lošim posledicama po nas: procenjujemo da li ćemo imati dovoljno benzina da se odvezemo do prijatelja, da li smo dovoljno brzi da predjemo ulicu u gustom saobraćaju, da li će nas izdržati te klimave merdevine na koje moramo da se popnemo, itd.
Poznati "paradoks " koji odlično ilustruje ovu našu osobinu je Monti Hol problem, i o tome je ovaj blog. Matematicki, problem je veoma jednostavan, ali je mnogim ljudima psiholoski "tesko" da prihvate njegovo resenje.
Monti Hol problem je dobio ime po poznatom TV šou iz 60-ih godina, a koji se zvao Let's make a deal. Voditelj tog kviza-programa je bio Monti Hol, i tako je nastalo ime..
Taj deal, ili problem, se sastojao u sledećem.
Na scenu su postavljena troja vrata identičnog oblika veličine i boje. Takmičaru je rečeno da se iza samo jednih vrata nalazi vredna nagrada (automobil, na primer), a da iza preostalih vrata nema ničega. Takmičar ima mogućnost da bira jedna vrata koja će da se otvore i ako se iza tih vrata nalazi nagrada, takmičar je uzima.
Za sada, sve je jednostavno. Pošto postoje troja vrata, verovatnoća da se iza bilo kojih od njih nalazi nagrada je 1/3, pa takmičar ima upravo toliku šansu da pogodi prava vrata. Intuitivno potpuno jasno.
Medjutim, i ovde je obrt u celom problemu, Monti Hol pravi sledeću ponudu, ili deal. Naime, od preostalih dvojih vrata, on otvara jedna i pokazuje da iza njih nije nagrada. Primetimo da je Montiju to uvek moguće da uradi jer on zna iza kojih vrata je nagrada. I tada Monti pravi sledeći deal: on nudi takmičaru da (a) ili ostane sa svojim prvobitnim izborom, ili (b) promeni odluku i opredeli se za vrata koja Monti nije otvorio.
Monti Hol problem je sledeci: da li je takmičaru bolje (ima veću verovatnoću da pogodi gde je nagrada) ako ostane pri svom prvobitnom izboru, ili da promeni odluku i izabere ona jedna preostala, neotvorena, vrata?
Ja sam, neformalno, napravio mali eksperiment i ovaj problem postavio nekolicini prijatelja i poznanika.
Svi su listom odgovorili da je takmičaru sve jedno da li ostane pri svom prvobitnom izboru, ili promeni i odluči se da zameni vrata. Rezonovanje je bilo sledeće: kad Monti otvori jedna vrata i pokaže da iza njih nije nagrada, preostala su dvoja vrata - ona koja sam ja prvobitno izabrao, i ona koja Monti nije otvorio. Verovatnoća je jednaka (1/2) da se iza bilo kojih od njih nalazi nagrada, pa mi je sve jedno da li ostajem pri svom prvobitnom izboru ili ne. Verovatnoća da ću izabrati nagradu je ista.
Ovo je u potpunoj suprotnosti sa istinskom, matematičkom verovatnoćom nalaženja nagrade. Naime, ako promenim svoju prvobitnu odluku, moja verovatnoća da ću pogoditi prava vrata se udvostručuje!
Kad sam ovo rešenje saopštio svojim sagovornicima, oni su jednostavno odbili da u njega poveruju i neprestano su insistirali na sledećem mentalnom konstruktu: Gledaj, preostala su dvoja vrata. Iza jednih je nagrada, i sve jedno je koja vrata izaberem jer je verovatnoća ista i jednaka ½, zar ne? Pa, nije tako.
Evo tačnog rešenja.
Označimo vrata sa A, B, i C. Verovatnoće da se iza vrata A nalazi nagrada je p(A)=1/3, da se iza vrata B nalazi nagrada je p(B)=1/3, i da se iza vrata C nalazi nagrada je p(C)=1/3. Tako počinje problem, i ovo je sasvim jasno - podjednaka je verovatnoća da se iza bilo kojih od vrata A, B, ili C nalazi nagrada, i ta verovatnoća je 1/3. U ovom trenutku, nemamo nikakvu preferencu i nasumice biramo vrata, znajući da imamo šanse 1/3 da smo pogodili.
Recimo da smo izabrali vrata A. Verovatnoća da se iza njih nalazi nagrada je 1/3. Ovo takodje znači da je verovatnoća da se iza vrata B ili C nalazi nagrada je 2/3. Ako Monti otvori jedna od njih, recimo C, i pokaže da se iza njih ne nalazi nagrada, onda je verovatnoća da se iza preostalih, neotvorenih vrata B nalazi nalazi nagrada jednaka takodje 2/3. To sto je Monti otvorio vrata C ništa ne menja u našoj prvobitnoj verovatnoći, 1/3, da se nagrada nalazi iza vrata A koja smo prvo izabrali. Medjutim, sada je duplo verovatnije da se nagrada nalazi iza neotvorenih vrata B. Time je i nama bolje da zamenimo svoju prvobitnu odluku i opredelimo se za vrata B.
Sve ovo sto sam rekao moze se prikazati jednom slikom:

Na ovoj slici, vrata su oznacena sa #1, #2, i #3. Naša prvobitna odluka su vrata #1, preostala vrata su #2 i #3, i Monti otvara vrata #3 iza kojih se ne nalazi nagrada.

Menjajući našu odluku mi ne moramo da nadjemo nagradu, ali sebi dajemo duplo veću šansu da je nadjemo.
I ovo je tačno rešenja, verovali u njega ili ne.

postavite na |

Komentari (227)

Sakrij replike | Pošaljite komentar

Komentare je moguće postavljati samo u prvih 7 dana, nakon čega se blog automatski zaključava

myredneckself 02:57 13.01.2010

Re: verujem

ma nije apsurd uopšte, čista matematika!

a malo i paradoks

mirelarado 02:59 13.01.2010

Re: verujem

Razlikuju se apriori i aposteriori verovatnoce.

Мислим да сам схватила. И овај клип који је поставио БЉЈ прилично јасно илуструје решење.

vladimir petrovic 10:32 13.01.2010

Re: verujem

Goran2
... credo quia absurdum

Dobra reakcija

szabad 03:01 15.01.2010

Re: verujem?

S obzirom da nisam pregledao kompletnu treću stranicu rizikujem da kažem nešto što je već možda račeno ali... kao što neko već ranije reče:

Ово и ја не разумем, зашто се она 1/3 вероватноће преостала после отварања врата Ц приписује само вратима која нисмо изабрали?

Zamislimo ovako: imamo tri igrača - svako izabere svoja vrata. Jedan otvara svoja vrata, po matematici koju je nsarski izložio dvoma preostalim igračima će se šansa povećati ako zamene prethodni izbor, što, očigledno, nije slučaj kod ovake postavke: jedan ipak ide s pravih vrata na pogrešna.
Ne igra ulogu uopšte to što istu ovu igru igra samo jedan čovek: otvaranjem jednih vrata, koja nije birao, igraču automatski skače verovatnoća na 50% - nastavak misli s početka posta (citiranog). On u stvari uvek bira između dvoja vrata - treća uvek isključuje voditelj. Uvek biraš izmedju tvog izbora i samo još jednih.
Da nastavim misao: ako igrač uporno bira samo jedna vrata, poznajem igrače koji u nizu od deset puta na aparatu tipuju na kartu "veća" ili "manja", po izloženoj matematici bi uvek morao da napušta taj izbor. I to bi mu trebalo povećati šanse?
Ja ovu misao ne mogu da iskažem matematički jer moje znanje iz te oblasti nije adekvatno tome ali ne znači da nije ispravna i ujedno matematički dokaziva.

marco_de.manccini 05:07 15.01.2010

Re: verujem?

нсарски, потпуно ти је успео блог. видим како људи не верују и кад виде и не верујем.

drbetruger 02:38 13.01.2010

Eksperiment

Radi se o prostom primeru iz matematičke verovatnoće.

Oni koji ne veruju da je verovatnoća dvostruko veća ukoliko se izbor promeni, mogu se uveriti jednostavnim eksperimentom. Umesto vrata mogu se upotrebiti poklopci, kutije šibica, saksije ili slično, a "nagrada" može biti običan kliker. Potreban vam je i asistent koji će igrati ulogu Montija Hola. Ukoliko eksperiment sa izborom napravite veliki broj puta, uverićete se da je broj pogodaka (dobijenih nagrada) dvostruko veći kada menjate izbor.

Matematički rečeno, kada broj ponovljenih eksperimenata teži beskonačnosti, verovatnoće (broj pogodaka podeljen sa ukupnim brojem eksperimenata) će težiti 2/3 kada ste promenili izbor, odnosno 1/3 kada to niste učinili.

myredneckself 03:06 13.01.2010

Re: Eksperiment

Matematički rečeno, kada broj ponovljenih eksperimenata teži beskonačnosti, verovatnoće (broj pogodaka podeljen sa ukupnim brojem eksperimenata) će težiti 2/3 kada ste promenili izbor, odnosno 1/3 kada to niste učinili.

2/3, što je logično bliže 1 celom, tj. autu, nego 1/3 kad ne menjamo izbor, ali meni nešto izbori malo, malo pa štucaju

izgleda više biram srcem nego matematički

hogubadagri 03:18 13.01.2010

Re: Eksperiment

istina eksperiment potvrdjuje da se dobija duplo cesce

hogubadagri 02:41 13.01.2010

slucajnost

Pre neku nedelju odgledah fim 21 gde su izneli istu problematiku i objasnili posle malo (tj. malo vise razbijanja glavom skontah sta kako koga gde). Naravno nisam mogao da odolim,a da ne sprovedem eksperiment sa svojim krugom prijatelja i slicni rezultati sem jednog matematicara ostali nisu verovali.

marta l 04:34 13.01.2010

Noumenon i Phenomenon

Sve verujem, sve jasno (Noumenon), a ipak ne bih promenila odluku (phenomenon). Zasto?

Ukoliko promenimo odluku i ne dobijemo nagradu, verovatnoca da cemo se osecati mizerno je 100% i to ne samo zbog nedobijene nagrade, nego mnogo vise zbog cinjenice da nas je neko/nesto lako ubedio da promenimo prvobitnu odluku, a jos vise zbog svesti da smo to ucinili zbog dobiti/koristi, dakle priznanje sebi da pohlepa moze tako lako da promeni nase izbore, pa makar oni bili i slucajni kao u ovoj nevaznoj situaciji.
E vidis, rizik da se ovako osecamo kosta vise od tih 33% vise sanse da dobijemo nagradu i zato se vecina drzi “svog znanja” ...
Elegantnije elaborirano kod Kanta u Kritici cistog uma ...po njegovoj tezi o analitickoj logici razumevanje Montijevog problema ce svakako doprineti nasem znanju, ALI tu je i dijalekticka logika i limiti razumevanja...

Izmedju Noumenon i Phenomenon ( u svim disciplinama) meni je interesantiniji ovaj drugi a jos vise njihov odnos.

gorran2 04:51 13.01.2010

Jesam li

ja to opet ostao sam protiv svih?
Eh, šta ti je moć navike

NNN 21:34 14.01.2010

Re: Jesam li

gorran2
ja to opet ostao sam protiv svih?
Eh, šta ti je moć navike

Pa kad si tvrdoglav kao

gorran2 05:59 13.01.2010

Aj da još malo dosađujem

Sve mogućnosti plus brojanje (najgluplji ali najočigledniji mogući postupak):

Legenda:

(A) A - B - C znači sledeće:
Nagrada je iza vrata A
Gost je izabrao vrata A
Domaćin je otvorio vrata B
Gost je zatim izabrao vrata C
(pretpostavljeno je da ne mogu obojica izabrati ista vrata u jednoj igri)

"ne postoji (isključena od strane organizatora)" znači da domaćin neće nikad otvoriti vrata iza kojih je nagrada - a on zna, dakle ne ulazi u verovatnoću

Postoje sledeće mogućnosti:

I - strategija promene

(A) A - B - C (=0)
(A) A - C - B (=0)
(A) B - A - ne postoji (isključena od strane organizatora)
(A) B - C - A (=1)
(A) C - A - ne postoji (isključena od strane organizatora)
(A) C - B - A (=1)
(B) A - B - ne postoji (isključena od strane organizatora)
(B) A - C - B (=1)
(B) B - A - C (=0)
(B) B - C - A (=0)
(B) C - A - B (=1)
(B) C - B - ne postoji (isključena od strane organizatora)
(C) A - B - C (=1)
(C) A - C - ne postoji (isključena od strane organizatora)
(C) B - A - C (=1)
(C) B - C - ne postoji (isključena od strane organizatora)
(C) C - A - B (=0)
(C) C - B - A (=0)

Opšti uspeh: 6/12, odnosno 50%

II - strategija čekanja

(A) A - B - A (=1)
(A) A - C - A (=1)
(A) B - A - ne postoji (isključena od strane organizatora)
(A) B - C - B (=0)
(A) C - A - ne postoji (isključena od strane organizatora)
(A) C - B - C (=0)
(B) A - B - ne postoji (isključena od strane organizatora)
(B) A - C - A (=0)
(B) B - A - B (=1)
(B) B - C - B (=1)
(B) C - A - C (=0)
(B) C - B - ne postoji (isključena od strane organizatora)
(C) A - B - A (=0)
(C) A - C - ne postoji (isključena od strane organizatora)
(C) B - A - B (=0)
(C) B - C - ne postoji (isključena od strane organizatora)
(C) C - A - C (=1)
(C) C - B - C (=1)

Opšti uspeh: 6/12, odnosno 50%.

Dakle, u ovoj igri (jedan od tri) sa obe strategije uspeh se svodi na situaciju posle otvaranja jednih vrata, odnosno dve ravnopravne opcije.

To jest, upravo onako kako zdrav razum sugeriše: kad si otvorio vrata C, pa nema, dal je iza vrata A, dal je iza vrata B, 'bemliga...

Dakle

zdrav razum: 1
matematika: 0

Ili sam ja pod dejstvom nekih mnogo dobrih protivzakonitih supstanci

marta l 06:17 13.01.2010

Re: Aj da još malo dosađujem

sto bi ukratko lepo rekli filozofi sa Kalenic pijace moz' da bude, al' ne mora da znaci

gorran2 06:28 13.01.2010

Re: Aj da još malo dosađujem

marta l
sto bi ukratko lepo rekli filozofi sa Kalenic pijace moz' da bude, al' ne mora da znaci

Ma ti sa kalenića su male mace za ove zemunske, kako u oblasti metafizike, tako i u pogledu filozofije egzistencije

sesili 08:22 13.01.2010

Re:Meni je jasno...

To je matematika. A ona je nauka. A zašto Bosanac noću ostavlja kod kreveta dve čaše - jednu sa vodom a jednu praznu? Možda će biti žedan, a možda neće! To je pretpostavka!

GajaR 08:29 13.01.2010

problem na piroćanski način

Evo malo da trolujemo...ako nas nsarski ne izbaci sa časa...

Uđe piroćanac u kafanu da se malo ogreje, sedne za sto i naruči kafu. Na stolu je zdela sa kuvanim jajima, i piroćanac odluči da se kriomice počasti. Kada je trebao da krene dođe kelner i zatraži od gosta 4 dinara. Gost kaže: a be bate, pa kafa ti je dinar a ti mi tražiš 4. Jes, dinar je ali je i jaje dinar. Kam gi tri?
- Kam gi tri? Pa evegi tri! Pokazuje gost na zdelu na stolu.
- Kam gi tri?
- Pa evegi tri....
-Ama, kam gi tri?
-Pa veegi tri...I tako „ubeđivanje“ potraja dugo.
Na kraju ostaje pitanje za nas koji smo loši matematičari: koliko je prvotno bilo jaja u zdeli? Ja neću da vas kao profesor mučim...verovatnoća da ćete da pogodite je stopostotna.

Predrag Brajovic 08:40 13.01.2010

Вероватноћа и разум

Један покојни српски политичар, у доба дечјих дана српског парламента, с тадашњом опозицијом у паузи се расправљао поводом неког питања о ком је требало гласати, и будући у једном трену убеђен да је став његове партије погрешан, ипак је рекао: "Ви сте у праву, али ми то не можемо допустити!"

Могли бисмо да применимо ову стратегију кад расправљамо о нсарскијевом тексту?

aleksandarz92 08:50 13.01.2010

Re: Вероватноћа и разум

"Ви сте у праву, али ми то не можемо допустити!"

Znam čoveka koji je jednom u raspravi kako nešto treba uraditi rekao: " E, sad neću ni kako ja 'oću!"

nsarski 09:00 13.01.2010

Re: Вероватноћа и разум

"Ви сте у праву, али ми то не можемо допустити!"

Pa, dakle, resenje je kao na onoj slici gore - bacimo monitor kroz prozor!

marta l 09:36 13.01.2010

Re: Вероватноћа и разум

pa to kazem......"Ви сте у праву, али ми то не можемо SEBI допустити!"

nsarski 09:49 13.01.2010

Re: Вероватноћа и разум

."Ви сте у праву, али ми то не можемо SEBI допустити!"

Da, menjajuci vrata, mi se kladimo protiv naseg prvobitnog izbora. Posto tako cesce dobijamo, onda dokazujemo sebi da originalno nismo bili u pravu. A to je nepodnosljivo!

Milan Novković 13:04 13.01.2010

Re: Вероватноћа и разум

onda dokazujemo sebi da originalno nismo bili u pravu. A to je nepodnosljivo!

Da, i ja mislim da je to osnovna psihološka podloga.

U tradingu ume surovo da se manifestuje kroz kršenje pravila "Ride your profits, cut your losses short", koje je potpuno suprotno od onoga što mnogo ljudi rade.

Naime, zamisli da u ime svog ulaganja u penziju kupujem akcije umesto da uplaćujem u fond. Pa tako analiziram neku firmu i zaključim da je dobra investicija, pa investiram.

Ako cena krene na dole, protiv mene, ja imam problem da izađem iz te pozicije zato što moram da priznam da sam pogrešio, nego ostajem i nadam se da će mi sreća rešiti ego problem pošto mi je analiza, očigledno, bila pogrešna.

A ako cena akcija ide na gore ja brže bolje prodam da bih se pohvalio kako sam bio u pravu i napravio profit, umesto da ostanem sa akcijama i dalje pošto mi je analiza bila tačna i cena akcija se kreće u smeru koji je dobar za mene.

dirtyharry 09:21 13.01.2010

Sve ovo me potseća

na ovaj crtać:

5:40 - 6:30.

Čišta matematika. 2x ništa je ništa, što znači da crva nije ni bilo.

Dawngreeter 10:09 13.01.2010

Dve koverte

To sa troje vrata jos i ima resenje koje je dokazivo tacno, ma koliko dokaz mozda izgledao intuitivno pogresan. Jedan slican i dokazivo paradoksalan problem je mnogo vise mindboggling - problem dve koverte.

Ako u jednoj ima 1000$ a u drugoj 2000$ (zapravo, bilo koje dve sume od kojih je jedna duplo veca od druge radi posao), koju izabrati? Ako uzmemo kovertu A i pre nego sto je otvorimo zapitamo se da li da je zamenimo za kovertu B, matematika je sledeca. Ako A ima x para, onda B ima ili x/2 ili 2x para, oba sa verovatnocom od 1/2.

(x/2)/2 + (2x)/2 = x/4 + x = 5x/4

Znaci potpuno je racionalno i logicki ispravno uzeti drugu kovertu. Sada kad smo uzeli drugu kovertu, ponovna analiza dovodi do istog rezultata pa je opet optimalan izbor zameniti koverte. Sto nas dovodi do cinjenice da je beskonacna zamena koverata najoptimalnije resenje problema.

alselone 16:53 13.01.2010

Re: Dve koverte

najoptimalnije

Ti ono bese ETF ili tako nesto zavrsio?

Lektorka, nisi sama.

marco_de.manccini 17:09 13.01.2010

Re: Dve koverte

Ако волиш да се играш ковертама пробај ову варијанту.

Не знаш које су суме у питању у ковертама, осим да је једна два пута већа од друге.

Изабереш насумице једну. Рецимо А. Отвориш је и видиш да има 100 долара. Да ли би је заменио за другу?

Онај твој прорачун каже да је математичко очекивање количине новца у другој коверти

(50+200)/2 = 125 долара.

Дакле исплати се променити коверту. Промениш. Дозвољено ти ја де се предомислиш поново. Али, мислим да нећеш хтети. Зашто би променио коверту у којој очекујеш, у просеку ,125 долара за коверту у којој има 100?

И ето ти још један ниво парадокса. Ако не знаш које су суме у питању (не отвориш ниједну коверту), чини ти се да треба мењати до бесконачности. Ако знаш једну од сума онда је друга коверта ”она права”. Зашто је знање тачне суме (100 долара) у једној коверти прекинуло онај бесконачни низ промена? Уосталом, било која сума би функционисала на истом принципу. Да си нашао 1000 долара у А онда очекујеш 1250 у Б, променио би и остао на томе. Знање тачне суме испада важно иако уопште није важно која је та сума.

marco_de.manccini 17:31 14.01.2010

Re: Dve koverte

Него, ево, да пробам да објасним овај парадокс са ковертама. Онај (ментални) експеримент предложен горе каже да уколико не знамо тачну суму у ниједној од коверти мењање наше одлуке не престаје, а уколико знамо тачу суму (без обзира колика је!) у једној коверти мењање престаје после првог корака указује да је нешто веома погрешно. Грешка је типична у теорији вероватноће. На жалост, немам способности да је објасним на једноставном језику, тако да ће ово бити објашњење само за оне који се помало разумеју.

Дакле, тврдим да је свеједно коју ћете коверту узети и да нема потребе за променом ни у првом кораку, а камо ли за бесконачним низом промена. С другим речима, тврдим да је математичко очекивање добијеног новца у обе коверте подједнако и да можете слободно да задржите прву коверту.

Готово увек код ”парадоксалних” резултата у вероватноћи ”кривица” је у једном од следећих

1) погрешан простор вероватноће
2) прептпоставка да су сви елементарни догађаји у простору вероватноће једнако вероватни

У случају коверата ради се о погрешном простору (Монти Хал је ближи оном другом разлогу).

Прво, да пробамо да решимо проблем тачно па ћемо после видети где је грешка.

Рецимо да су количине новца у ковертама К и 2К. Простор вероватноће има само две тачке,
Т1 = извукли смо коверту са К
Т2 = извукли смо коверту са 2К
и вероватноћа за сваки од ова два елементарна догађаја је 1/2.
Математичко очекивање је ,наравно, (К+2К)/2=3К/2. Ово је независно од тога да ли већ једном руком држимо једну коверту и размишљамо које је очекивање за другу коверту. Очекивање за другу коверту је такође 3К/2, јер са вероватноћом 1/2 ми у руци држимо коверту са К а у другој је 2К, а са вероватноћом 1/2 држимо коверу са 2К а у другој је К. Дакле, нема никакве потребе за предомишљањем.

Е сад, где је проблем у оном тумачењу где се чини да човек треба да мења своју одлуку заувек. Проблем је у простору вероватноће (који тамо, наравно, није ни дефинисан прецизно, омогућујући конфузију у размишљању и остављајући простор за грешке). Када замислимо да држимо једну коверу у рукама у којој је количина новца х, а онда тврдимо да је количина новца у другој коверти 2х или х/2, то је тачно, али свакако није тачно да је могла бити и 2х и х/2 и да се обе ове опције појављују са вероватноћом 1/2. То би значило да је могуће, кад се експеримент понавља (!), једном имати коверте са количинама новца х и 2х, а једном х и х/2. Али ово је немогуће јер су х,2х,х/2 три различите суме, а у ковертма постоје само две различите суме.

Ако ово није довољно, да пробам конкретније. Рецимо да сте узели једну коверту, отворили је и нашли 100 долара. Тврдим да је немогуће израчунати математичко очекивање новца у другој коверти. У другој коверти је или 200 долара или 50, али је или 200 са вероватноћом 1 или 50 са вероватноћом 1 у зависности да ли су почетне суме биле 100 и 200 или 100 и 50, што ми не можемо знати. Ако се почне са ковертама од 100 и 200 и понови експеримент 6789 пута, увек када неко извуче коверту са 100, у другој има 200, али никада 50.

Дакле, ако се почело са 100 и 200, а ми у руци држимо 100, математичко очекивње за другу коверту је 200, али ако се почело са 100 и 50 математичко очекивање за другу коверту је 50. Тиме што знамо да је један од бројева 100 ми и даље не знамо у ком од два могућа простора треба рачунати очекивање за другу коверту. Просек ова два очекивања (фамозни 125 који је већи од 100) нема никаквог смисла јер ова два очекивања живе у различитом простору.

Dawngreeter 22:47 14.01.2010

Re: Dve koverte

Sto se 50/50 izbora tice, tu se naravno slazem. Kada su ispred tebe dve koverte, svejedno je koju uzimas. Ako je to jedini izbor koji imas da napravis, onda je stvarno 50/50 i sve je ok. Ali smatram da nije pokresno definisan prostor verovatnoce u slucaju beskonacnog menjanja koverata iz prostog razloga sto je problem u korenu drugaciji ako pored 50/50 odabira koverte ponovo imas mogucnost predomisljanja.

U slucaju kada mozemo da otvorimo kovertu pa onda da pravimo izbor da li je zameniti, nacelno se slazem sa zakljuckom. Ne postoje "sanse" za razlicite sadrzine koverte jer je ili jedno ili drugo i podaci o tome nam nisu poznati. Isto bi bilo kao nagadjanje koje marke ce sledeca kola koja prodju da budu - nepoznavanje cinjenica ne znaci da su cinjenice nasumicne. Ovde se resenje paradoksa, zapravo, grana na dva objasnjenja. I pre nego sto ih iznesem moram priznati da je moj math-fu slab te da samo parafraziram ono sta su mudriji ljudi od mene kacili na wikipedia clanak.

Prva varjanta kaze da znamo koja kolicina novca je u kovertama i u glavnom se podudara sa ovim sto si ti vec izneo. Na primer, znamo da je u jednoj 100 a u drugoj 200. Ako je to slucaj, onda nije tacno da drzeci jednu kovertu druga je ili N/2 ili 2N. Istina je da je druga koverta uvek 200 ako drzimo kovertu od 100, odnosno uvek 100 ako drzimo kovertu od 200. To sanse vraca na normalnih 50/50 pa paradoksa nema i svejedno je koju kovertu uzimamo.

Druga varjanta kaze da ne znamo kolicine novca. Tu nam postaje vazno na koji nacin su se generisale vrednosti unutar koverte, i ovo objasnjenje je verovatno jedno od naj-weird momenata u matematickoj verovatnoci koje sam imao prilike da vidim. Kaze, ako prvo odredimo sadrzaj koverte A nasumicnom metodom koja odabira neki slucajan paran broj, a onda odredimo sadrzaj koverte B tako sto ima 50% sanse da bude pola koverte A a 50% sanse da bude duplo veca od koverte A, onda je optimalan pristup uzeti kovertu A, izracunati da je verovatnoca da je koverta B 5/4N i odabrati nju. Dalje vise nema paradoksa jer se necemo vratiti nazad na kovertu A koja nije generisana kao funkcija koverte B. Dakle uvek je najbolje uzeti kovertu koja je druga po redu generisana.

Ako ne znamo sume u kovertama i ne znamo nacin na koji je sadrzaj koverata generisan, onda je paradoks, cini mi se, ipak na snazi. Uz napomenu da nepoznavanje cinjenica ne cini cinjenice nasumicnim pa je paradoks pod znakom pitanja. Problem je takodje i pretpostavka da prilikom generisanja nasumicnih vrednosti algoritam koristi nekakvu uniformnu raspodeljenost mogucih vrednosti, no to je vec trenutak gde polako prestajem da budem siguran u moje shvatanje materije...

Link za wikipedia stranu o paradoksu i zanimljivim dodatnim komplikacijama: http://en.wikipedia.org/wiki/Two_envelopes_problem

aleksandarz92 01:00 15.01.2010

Re: Dve koverte

Druga varjanta kaze da ne znamo kolicine novca. Tu nam postaje vazno na koji nacin su se generisale vrednosti unutar koverte, i ovo objasnjenje je verovatno jedno od naj-weird momenata u matematickoj verovatnoci koje sam imao prilike da vidim. Kaze, ako prvo odredimo sadrzaj koverte A nasumicnom metodom koja odabira neki slucajan paran broj, a onda odredimo sadrzaj koverte B tako sto ima 50% sanse da bude pola koverte A a 50% sanse da bude duplo veca od koverte A, onda je optimalan pristup uzeti kovertu A, izracunati da je verovatnoca da je koverta B 5/4N i odabrati nju. Dalje vise nema paradoksa jer se necemo vratiti nazad na kovertu A koja nije generisana kao funkcija koverte B. Dakle uvek je najbolje uzeti kovertu koja je druga po redu generisana.

Ali, obzirom da koverte nisu označene slovima A i B, imamo 50% šansi da pogodimo koja je A, a koja B. To je dovoljan uslov da svako dalje računanje verovatnoće učini besmislenim.

Dawngreeter 02:18 15.01.2010

Re: Dve koverte

aleksandarz92
Ali, obzirom da koverte nisu označene slovima A i B, imamo 50% šansi da pogodimo koja je A, a koja B. To je dovoljan uslov da svako dalje računanje verovatnoće učini besmislenim.

Ako ne znamo koja je A a koja je B, vracamo se na paradoks.

hazar 10:26 13.01.2010

Intuitivnost

Ne možete povezivati verovatnoće za dva nezavisna događaja samo zato što se drugi događaj pouzdano dešava posle prvog. Jedno je izbor sa troja vrata, a drugi je biranje da li da ostavimo već odabrana vrata od preostalih dva ili novi izbor od preostala dva. Verovatnoća u drugom izboru je 1/2. Ovde nema nikakve uslovne verovatnoće, pa se ne mogu ni povezivati događaji jer drugi dolazi tek kada je prvi pouzdano završen.

Dawngreeter 10:29 13.01.2010

Re: Intuitivnost

Dogadjaji su medjusobno uslovljeni upravo zato sto se prvi izbor desio pre nego sto su se otvorila treca vrata. Da vrata nisu odabrana pre nego sto su se treca otvorila, da, 50% sanse bi bilo za oba od dvoja preostalih vrata. Ali to nije slucaj, odabrana vrata i dalje imaju 33.33% sanse da su prava zbog toga sto novodobijene informacije ne uticu na njih, ali uticu na neodabrana vrata.

ivana23 10:34 13.01.2010

Re: Intuitivnost

hazar 11:19 13.01.2010

Re: Intuitivnost

Dawngreeter
Dogadjaji su medjusobno uslovljeni upravo zato sto se prvi izbor desio pre nego sto su se otvorila treca vrata. Da vrata nisu odabrana pre nego sto su se treca otvorila, da, 50% sanse bi bilo za oba od dvoja preostalih vrata. Ali to nije slucaj, odabrana vrata i dalje imaju 33.33% sanse da su prava zbog toga sto novodobijene informacije ne uticu na njih, ali uticu na neodabrana vrata.

Verovatnoća prvog događaja nema uticaja na verovatnoću drugog izbora. Ako oba događaja posmatramo povezano, a to jeste suština ove logičke zezalice(pre bih to nazvao tako nego matematičkim problemom ili paradoksom), imamo da je verovatnoća da će voditelj otvoriti vrata iza kojih nije nagrada iznosi 1. Drugim rečima, događaji bi bili međusobno uslovljeni samo pod uslovom da voditelj može da otvori i vrata iza kojih se nalazi nagrada ili vrata koja smo mi odabrali. Kako pouzdano znamo da se to neće desiti (intuitivno zaključujem) onda prvi događaj nema nikakvog uticaja na naš izbor u drugom događaju i verovatnoća da ćemo dobiti nagradu posle čuvenog voditeljevog pitanja je uvek 0,5 i apsolutno nema veze sa tim na koja vrata ćemo pokazati na početku priče.

Dawngreeter 11:23 13.01.2010

Re: Intuitivnost

Stvari se mogu postaviti krajnje jednostavno. Matematicari sirom sveta se slazu sa dokazom koji je nsarski ovde jako lepo objasnio. Ili nisi u pravu, ili imas nesto da naucis svakog nosioca Ph.D. titutle iz matematike.

No, ne volim da se pozivam na autoritet u objasnjavanju, pa uzmi u obzir sledece. Kada voditelj otvori pogresna vrata, skup vrata za koji je ta informacija relevantna su "sva ona koja nisi odabrao". I ti to kazes - vrata koja se otvaraju su pogresna vrta iz skupa neodabranih vrata. Po definiciji, to preuredjuje verovatnocu samo za neodabrana vrata.

hazar 11:55 13.01.2010

Re: Intuitivnost

Dawngreeter
Stvari se mogu postaviti krajnje jednostavno. Matematicari sirom sveta se slazu sa dokazom koji je nsarski ovde jako lepo objasnio. Ili nisi u pravu, ili imas nesto da naucis svakog nosioca Ph.D. titutle iz matematike.

Moje znanje matematike je ostalo na nivou inženjerskog tako da mi ni na kraj pameti nije da učim nekog rešavanju svetskih matematičarskih problema. Volim samo da mi po mogućstvu neko objasni ono što ne znam, a kako profesor reče, intuitivno mi se pričinjava da sam u pravu.

No, ne volim da se pozivam na autoritet u objasnjavanju, pa uzmi u obzir sledece. Kada voditelj otvori pogresna vrata, skup vrata za koji je ta informacija relevantna su "sva ona koja nisi odabrao". I ti to kazes - vrata koja se otvaraju su pogresna vrta iz skupa neodabranih vrata. Po definiciji, to preuredjuje verovatnocu samo za neodabrana vrata

Meni izgleda da to što voditelj po definiciji preuređuje verovatnoću samo za neodabrana vrata čini drugi događaj nezavisnim od prvim, odnosno da u prvom slučaju imamo troja, a u drugom dvoja neodabrana vrata sa uverenjem od 50% da sam možda već označio prava.

Dawngreeter 11:59 13.01.2010

Re: Intuitivnost

hazar
Meni izgleda da to što voditelj po definiciji preuređuje verovatnoću samo za neodabrana vrata čini drugi događaj nezavisnim od prvim, odnosno da u prvom slučaju imamo troja, a u drugom dvoja neodabrana vrata sa uverenjem od 50% da sam možda već označio prava.

Kako je drugi dogadjaj nezavistan od prvog kada se vrsi nad podskupom vrata koji je odredjen prvobitnim izborom?

Goran Vučković 12:03 13.01.2010

Re: Intuitivnost

Meni izgleda da to što voditelj po definiciji preuređuje verovatnoću samo za neodabrana vrata čini drugi događaj nezavisnim od prvim, odnosno da u prvom slučaju imamo troja, a u drugom dvoja neodabrana vrata sa uverenjem od 50% da sam možda već označio prava.

Da probamo da problem još više naduvamo.

Postoji paket od 100.000 lutrijskih srećaka i jedna jedina srećka donosi nagradu. Izvučeš jednu srećku od 100.000. Onda lutrija spali 99.998 srećaka i ostane samo tvoja i još jedna, pri čemu su sve spaljene bile gubitne.

Da li očekuješ da je događaj paljenja 99.998 srećaka učinio tvoju prvobitnu verovatnoću izbora dobitne srećke - 50%?

niccolo 13:12 13.01.2010

Re: Intuitivnost

Čini mi se da Hazar pita zbog čega se mogućnost od 66% da je nagrada iza vrata B i C ne raspoređuje i na vrata A (koja smo već izabrali) i na vrata B kad se ispostavi da nagrada nije iza C nego svih 66% padaju na B?

Dawngreeter 13:15 13.01.2010

Re: Intuitivnost

Zbog toga sto ukupna verovatnoca (66.66%) podskupa svih vrata koja nisu odabrana ostaje nepromenjana posle izvrsenih operacija nad datim podskupom.

nsarski 13:22 13.01.2010

Re: Intuitivnost

Čini mi se da Hazar pita zbog čega se mogućnost od 66% da je nagrada iza vrata B i C ne raspoređuje i na vrata A (koja smo već izabrali) i na vrata B kad se ispostavi da nagrada nije iza C nego svih 66% padaju na B?

Pa zato sto se nije "ispostavilo" da nagrada nije iza vrata C, vec je Monti znao da nema nagrade iza vrata C i njih je otvorio.
U drugoj varijanti ovog problema, Montija izbacujemo.
Umesto njega, neki drugi takmicar, koji nema pojma gde je nagrada, izabira vrata C i otvara ih i ne pronalazi nista. Tada je verovatnoca pola/pola da je nagrada iza vrata A ili vrata B jednaka, i mi nemamo razloga da menjamo odluku.

Goran Vučković 13:25 13.01.2010

Re: Intuitivnost

Zbog toga sto ukupna verovatnoca (66.66%) podskupa svih vrata koja nisu odabrana ostaje nepromenjana posle izvrsenih operacija nad datim podskupom.

Ili obrnuto - verovatnoća početnog pravilnog izbora ne može da se retroaktivno promeni akcijama koje ne menjaju taj izbor, a ukupna verovatnoća izbora između preostalo dvoje vrata / tiketa ostaje ista (1, tj. 100% - siguran događaj - iza jednih vrata je sigurno nagrada / jedan tiket je sigurno dobitan po definiciji problema).

Virtuelni Vasilije 13:34 13.01.2010

Re: Intuitivnost

Goran Vučković
Postoji paket od 100.000 lutrijskih srećaka i jedna jedina srećka donosi nagradu. Izvučeš jednu srećku od 100.000. Onda lutrija spali 99.998 srećaka i ostane samo tvoja i još jedna, pri čemu su sve spaljene bile gubitne.

Da li očekuješ da je događaj paljenja 99.998 srećaka učinio tvoju prvobitnu verovatnoću izbora dobitne srećke - 50%?

Stvar i jeste u tome da se verovatnoca promenila posle paljenja gubitnih srecaka. Ona prvobitna verovatnoca se ne menja - ali to je proslost. U momentu kad treba da se KONACNO odluci izmedju dve preostale srecke verovatnoca je ista: 50%. U novoj situaciji se vrsi novi novi izbor i onaj prethodni ne sadrzi neku dodatnu informaciju. Znaci ako sad dodjem ja kao novo lice da biram onda mi je verovatnoca 50% ... i nista mi ne pomaze sto znam da je neki hazar ranije "tipovao" na jednu od dve preostale. Samim tim je isto i za njega da li ce da se odluci da promeni ili ne. Inace bi ispadalo da ce on samo promenom garantovano dobiti (99,998%) sto ne moze biti tacno ...

niccolo 13:39 13.01.2010

Re: Intuitivnost

100?

Edit: E sad još da mi neko izračuna kolika je bila verovatnoća da uhvatim stoti komentar u trenutku kad je objavljen blog, a kolika u trenutku kad je Vasa poslao 99ti

Goran Vučković 13:51 13.01.2010

Re: Intuitivnost

U novoj situaciji se vrsi novi novi izbor i onaj prethodni ne sadrzi neku dodatnu informaciju.

Procedura spaljivanja, koja nikada ne spaljuje tiket koji držiš, je to što sadrži dodatnu informaciju.

Znanje koji tiket nije mogao biti spaljen (jer si ga držao u ruci) je ono što ti daje informaciju u odnosu na nekoga ko je došao ispred samo dva tiketa.

Korisnicko ime vec postoji 13:53 13.01.2010

Re: Intuitivnost

Umesto njega, neki drugi takmicar, koji nema pojma gde je nagrada, izabira vrata C i otvara ih i ne pronalazi nista. Tada je verovatnoca pola/pola da je nagrada iza vrata A ili vrata B jednaka, i mi nemamo razloga da menjamo odluku.

Ne vidim u cemu je razlika izmedju prvog i drugog takmicara? Ni jedan ni drugi nemaju pojma gde je nagrada. Postavka je pogresna, to je kao u onoj prici sa zecom i kornjacom, gde iako je zec 2x brzi od kornjace on nju nikad ne stigne....

Onog trenutka kad vrata C ispadnu iz igre ona se vise ne racunaju, tako da ostaje 50% - 50%.

To sto Monti otvara vrata, i daje ti da menjas prvobitnu odluku je deo programa, ali se svodi na to da sta god odlucis (i promasis) opet ces se kajati, po sistemu: e da sam ga poslusao/ koji me je ... terao da ga slusam

Virtuelni Vasilije 14:02 13.01.2010

Re: Intuitivnost

Goran Vučković
Procedura spaljivanja, koja nikada ne spaljuje tiket koji držiš, je to što sadrži dodatnu informaciju.

Znanje koji tiket nije mogao biti spaljen (jer si ga držao u ruci) je ono što ti daje informaciju u odnosu na nekoga ko je došao ispred samo dva tiketa.

Sve te informacije iz proslost bi mogle bi da uticu evenutalno na racunanja nekih zbirnih verovatnoca koje se odnose na ta dva dogadjaja (ili vise njih ako se sve radilo u vise koraka). Na verovatnocu pri toj zadnjoj odluci u kojoj se odlucuje izmedju dve ne vidim kako te ranije informacije imaju uticaja ... sorry.

nsarski 14:02 13.01.2010

Re: Intuitivnost

Ne vidim u cemu je razlika izmedju prvog i drugog takmicara?

Razlika je u tome sto dodatni takmicar (umesto Montija) nasumice otvara vrata C i ne nalazi nista. Tada su verovatnoce 50-50 za preostala vrata.
Razlika izmedju Montija i drugog takmicara je u tome sto drugi takmicar moze da otvori dobitna vrata (ako ih slucajno pogodi), a Monti ne moze.

Ako si zainteresovan, mogu da ispisem Bayesian verovatnoce u oba slucaja...

Dawngreeter 14:04 13.01.2010

Re: Intuitivnost

Korisnicko ime vec postoji
Ne vidim u cemu je razlika izmedju prvog i drugog takmicara? Ni jedan ni drugi nemaju pojma gde je nagrada.

Razlika je u prirodi funkcije. Kada Monti otvori vrata, on vrsi funkciju redukcije izbora nad podskupom vrata definisanih kao ona koja nisi odabrao, pa se samo u okviru tog podskupa verovatnoca preraspodeljuje. Kada neko nasumicno otvori vrata i ona se ispostave da su pogresna, funkcija je samo odstranjivanje nasumicnih vrata (koja su mogla da budu i prava vrata) pa se verovatnoca preraspodeljuje u celom skupu.

Colin_bgd 18:41 13.01.2010

Re: Intuitivnost

Razlika je u tome sto dodatni takmicar (umesto Montija) nasumice otvara vrata C i ne nalazi nista. Tada su verovatnoce 50-50 za preostala vrata.
Razlika izmedju Montija i drugog takmicara je u tome sto drugi takmicar moze da otvori dobitna vrata (ako ih slucajno pogodi), a Monti ne moze.

Ako si zainteresovan, mogu da ispisem Bayesian verovatnoce u oba slucaja...

Hm, da li je ovo sto si napisao tacno?

Ukoliko se ispostavi da iza C nema nagrade, da li je bitno da li je to otkrivanje ucinjeno sa predznanjem ili ne? Ja bih rekao da ne, jer posle otkrivanja da iza C nema nista, prvi takmicar ima istu situaciju, tj. on je saznao gde nije nagrada. Da li je doslo do preraspodela verovatnoce samo zato sto je to ucinio neko nasumice?

Ne bih rekao da je to za odluku o promeni prvog takmicara drugacije nego kad je Monti otvorio vrata C. (Jer cak i ako je nagrada iza A, Monti ce i onda otvoriti B ili C..) Jedino sto je drugacije je to sto ce Monti 100% otvoriti vrata iza kojih nije nagrada (i odrzati pravila igre/problema), dok neko drugi koji ne zna gde je nagrada, mozda otvori i vrata iza kojih jeste nagrada, ali onda vise nemamo originalni problem, tj. ukoliko vrata B ili C otvara neko ko ne zna, postoji sansa da pokvari igru. Tj. u slucaju sa tri vrata i takmicara broj 2 koji nasumice otvara jedna, samo postoji verovatnoca veca od nule da se igra ne zavrsi, dok u Monitjevom slucaju verovatnoca da se igra ne zavrsi jeste nula.

Ako gresim, molim objasnjenje.

edit: ovo naravno pod pretpostavkom da neko nasumice otvara vrata nakon originalnog izbora takmicara broj 1.

corn mouth 00:20 14.01.2010

Re: Intuitivnost

Ako si zainteresovan, mogu da ispisem Bayesian verovatnoce u oba slucaja...

ja sam zainteresovan :)

nsarski 03:06 14.01.2010

Re: Intuitivnost

ja sam zainteresovan :)

OK, here comes...

Koristimo Bayesovu formulu. Ona kaze kako izracunati verovatnocu da je neka propozicija S tacna, na osnovu informacija koju imamo o S, ako znamo:
(i) Verovatnocu za S u odsustvu bilo kakvih informacija
(ii) Informaciju o S
(iii)Verovatnocu da ce informacija postojati, bez obzira da li je S tacno ili nije
(iv)Verovatnoca da ce informacija postojati, ako je S tacno

Neka je p(S) verovatnoca za S u odsustvu bilo kakvih informacija o S, ovo se zove apriori verovatnoca.
Tada dobijemo neku informaciju E
Neka je p(S|E) verovatnoca da je S tacno ako je data informacija E. Ovo je revidirana verovatnoca za S koju hocu da izracunam. Ona se zove aposteriori verovatnoca.
Verovatnoca p(S|E) se zove conditional probability (ne znam srpsku rec) - to je verovatnoca da je S tacno ako je data informacija E.
Neka je p(E) verovatnoca da se E pojavi, ako ne znamo da li je S tacno i p(E|S) verovatnoca da je E tacno ako znamo da je S tacno.
Bayesova teorema kaze da je

p(S|E)= P(S) x P(E|S) / P(E)

Ovo su sve opsta mesta, ali nije zgoreg da ih pomenem.

OK, primenimo ovo sada na Monti Hol problem.
Pocnemo sa racunanjem verovatnoce da je nagrada iza vrata B. Apriori, verovatnoca je p(B)=1/3 - to imamo u odsustvu bilo koje druge informacije. Sada modifikujemo tu verovatnocu, na osnovu nove informacije koju imamo (naime da su otvorena vrata C i pokazano je da iza njih nije nagrada). Rezultat je p(B)=2/3.
Evo kako to tacno radi:
Izaberem vrata A, i Monti otvori vrata C da pokaze kako iza njih nije nagrada. Sada znam da p(C)=0. Neka je E informacija da nema nagrade iz vrata C. Koristeci Bayesovu formulu

p(A|E) = p(A) x p(E|A) / p(E)

p(B|E) = p(B) x p(E|B) / p(E)

Takodje znamo da je p(A)=1/3 i p(B)=1/3.

p(E|A) = 1/2, posto, ako je nagrada iza vrata A, Monti moze da otvori ili B ili C da pokaze kako tu nema nagrade.

p(E|B) = 1, posto, ako je nagrada iza vrata B, Monti nema izbora, jer ako hoce da otvori vrata bez nagrade, i onda mora da otvori vrata C.
p(E|C) = 0, jer ako je nagrada iza vrata C, Monti ne moze da ih otvori.

Posto se A, B i C uzajamno iskljucuju, i iscrpljuju sve mogucnosti, onda vazi:

p(E) = p(A).p(E|A) + p(B).p(E|B) + p(C).p(E|C)

= (1/3).(1/2) + (1/3).(1) + (1/3).0

= 1/2

Dakle, koristeci Bayesovu formulu, imamo

p(A|E) = p(A) x p(E|A) / p(E) = (1/3) x (1/2) / (1/2) = 1/3

p(B|E) = p(B) x p(E|B) / p(E) = (1/3) x (1) / (1/2) = 2/3

Dakle, na osnovu informacije koju dobijemo kad Monti otvori vrata C i pokaze da tu nema nagrade, duplo je verovatnije da je nagrada iza vrata B nego iza vrata A.

Ako pogledamo modifikovanu verziju gde neki drugi takmicar (koji ne zna gde je nagrada) otvori vrata C i obojica vidimo da iza njih nema nista, onda su potrebne verovatnoce

p(A)=p(B)=1/3

p(E|A) = p(E|B) = 1/2, jer ako je nagrada iza vrata A, drugi takmicar moze da izabere ili B ili C da pokaze da iza njih nema nagrade.
p(E|C) = 0, jer, ako je nagrada iza vrata C, i drugi ih takmicar otvori, videli bi nagradu (kraj igre).

U ovom slucaju
p(E) = p(A).p(E|A) + p(B).p(E|B) + p(C).p(E|C)

= (1/3).(1/2) + (1/3).(1/2) + (1/3).0

= 1/3

Najzad, koristeci Bayesove formule

p(A|E) = p(A) x p(E|A) / p(E) = (1/3) x (1/2) / (1/3) = 1/2

p(B|E) = p(B) x p(E|B) / p(E) = (1/3) x (1/2) / (1/3) = 1/2

tj., svejedno je da li ostajete pri prvobitnom izboru, ili promenite odluku - verovatnoca za nagradu je ista.

I to je sve. Verovali ili ne.

corn mouth 03:51 14.01.2010

Re: Intuitivnost

nsarski

OK, here comes...

hvala, nsarski.
usput, koji je to tezak matematicki problem o kome pokusavas da pises blog?

nsarski 08:06 14.01.2010

Re: Intuitivnost

usput, koji je to tezak matematicki problem o kome pokusavas da pises blog?

Pa milenijumski problem, Birch&Swinnerton-Dyer conjecture. U stvari, problem je ekstremno tezak, ali njegova postavka zahteva elementarnu matematiku.

NNN 21:36 14.01.2010

Re: Intuitivnost

conditional probability

uslovna verovatnoća

kole_cat 13:52 13.01.2010

A da li Monti...

svaki put nudi igracu dodatno otvaranje vrata?
Ili i on nekad kulira igraca?
U ovom drugom slucaju, kako proceniti subjektivnu zelju Montija da cesce nudi igracu dodatna otvorena vrata ako je on pogodio prava u odnosu na kuliranje ako je izabrao pogresna?
Ovaj drugi slucaj se priblizava vec pomenutom 'sibicarskom problemu'.
Tj. uvodi se verovatnoca malog prstica, pa jos dva 'lozaca' sa strane, od kojih je jedan obavezno bas krupan, iz razloga da kad igrac pobesni brani sibicara....

neka visa matematika

gordanac 14:12 13.01.2010

yep...

...dva stava uvek lako možeš prepoznati:

Prvi:

Znam da je to (bilo šta) tačno, ali - ne verujem.

Zašto nam se to dešava?
Zato što ono što je očigledno tačno iziskuje da nešto, bilo šta - promenimo u svom ponašanju, da bi bili saglasni sa onim što je tačno, a to mi ljudi - ne volEemo da radimo.
Zašto?
Zato.
Ljudi, što je sasvim prirodno - ne vole promene kaotakve, najčešće nismo sigurni ima li kraja promenama, jednom kada donesemo (ispravnu) odluku da se - menjamo. A to - menjanje i potreba za menjanjem - to se nikada ne završava, Činjenica da je ta tvrdnja TAČNA, nikako ne proizvodi kod ljudi i potrebu da se u takvu tvrdnju - poveruje.
Ljudi su skroz šašava bića...

Dočim:

Drugi

Znam da je to (bilo šta) netačno, ali - verujem.

Zašto nam se to dešava ?
Zato što nam se kaže da i drugi ljudi veruju i što više drugih ljudi veruje u sasvim netačne stvari, ondaK i mi mislimo "ma, verujem i ja!". Nema veze što je - netačno.
Primer je poznat kao Argumentum ad populum, sa sjajnim primerom Three men make a tiger

Matematika može objasniti i jedno i drugo, jer se uvek radi o nekakvom izboru u nekakvom polju slobode.
A ondaK ljudi kažu "so what" ?
"..ti će mi kažeš?!.."
A naši izbori nas, ustvari, čine takivm kakvi smo, mnogo više nego bilo šta drugo što nas opisuje.
Pa što onda ne izaberemo "kako treba" i to "kad treba", kad već znamo da je nešto "tačan izbor"?
Zato.

nsarski 14:43 13.01.2010

Re: yep...

Znam da je to (bilo šta) netačno, ali - verujem.

Za takve postoji Darvinova nagrada:)))

gordanac 14:55 13.01.2010

Re: yep...

nsarski
Znam da je to (bilo šta) netačno, ali - verujem.

Za takve postoji Darvinova nagrada:)))

:))
Ta se daje samo potpuno ekstremnim - za primer

Ostali to čine for free.
Go figure

dirtyharry 14:26 13.01.2010

Nekada davno

u časovima dokolice sam čitao knjige iz oblasti verovatnoće. Neverovatne stvari su padale ljudima napamet. Sećam se da je jedan prijatelj bacao iglu za šivenje sa neke visine na pod gde je bila povučena linija. Inače dotični je računao verovatnoću da igla padne tako da preseca liniju na podu. Znam da je bilo više hiljada ponavljanja. To je bio praktični dokaz neke njegove teorije, više sam zaboravio o kome se radi.

Naravoučenije: Nikada se ne prepirite sa matematičarima. Argumente će potkrepiti formulama koje opet ne razumete. Jedan kolega ovde na blogu bi rekao Čemu ?

Lep tekst gazda, baš je lepo kad te neko potseti ovih trivijalnih i očiglednih problema.

gradjani_nn 14:26 13.01.2010

Praktično pitanje?

A da li se zna šta je praksa pokazala, tj. da li je barem približno dupo više onih koji su promenili izbor dobilo nagradu u odnosu na one koji nisu, ili ne? Jer, ako je to istina, onda još i da se udubljujem u ovu logiku

godec 14:28 13.01.2010

ZATO ISTINA

Dodao bih i treci stav na dva stava navedena u prvom komentaru.

Treci:

Tacno je (istina je) ono sto ja verujem da je istina.

A naši izbori nas, ustvari, čine takivm kakvi smo, mnogo više nego bilo šta drugo što nas opisuje.
Pa što onda ne izaberemo "kako treba" i to "kad treba", kad već znamo da je nešto "tačan izbor"?
Zato.

Ne slazem se, jer ako verujemo da je nesto "kako treba" i "kad treba" onda je to legitiman "tacan izbor" za nas.

Dawngreeter 14:29 13.01.2010

Re: ZATO ISTINA

Tacnost nije subjektivna.

gordanac 14:33 13.01.2010

:)

Dawngreeter
Tacnost nije subjektivna.

Zahvaljujem!
(da ne moram ja...)

background noise 14:28 13.01.2010

Ne moze bre tako

Kad on otvori jedna vrata i ostanu dvoja neotvorena mi ponovo biramo. Sanse su pismo glava. Kad bi mi rezultat te matematike predstavio na nekom dijagramu mozda bi ti i poverovao . . . ovako, ostajem na pola-pola . . . <_<

nsarski 14:35 13.01.2010

Re: Ne moze bre tako

background noise
Kad on otvori jedna vrata i ostanu dvoja neotvorena mi ponovo biramo. Sanse su pismo glava. Kad bi mi rezultat te matematike predstavio na nekom dijagramu mozda bi ti i poverovao . . . ovako, ostajem na pola-pola . . . <_<

Ja sam to gore postavio, ali evo da ponovim:

Konkretno, evo kako to izgleda sa 9 ponavljanja (bolje bi bilo da razmisljamo o 9 miliona ponavljanja, ali ostanimo pri malom broju 9).
Moguca raspodela nagrade je xoo (tri puta), oxo (tri puta), i oox (tri puta). "x" oznacava vrata sa nagradom.
Ako fiksiram jedna vrata (svejedno koja) i nikad ne menjam odluku, ja cu dobiti tri puta, i to je sve.
Ako fiksiram jedna vrata (svejedno koja) i uvek promenim odluku posle Montijevog otvaranja, ja cu dobiti 6 puta, dakle dva puta cesce.

Ispisimo ovo pregledno:

Vrata....ABC
Igra 1....xoo
Igra 2....xoo
Igra 3....xoo
Igra 4....oxo
Igra 5....oxo
Igra 6....oxo
Igra 7....oox
Igra 8....oox
Igra 9....oox

Ovo bi, u idealnom slucaju, bili polozaji nagrade u 9 igara. Ja sam ih poredjao i numerisao po redu, mada one u realnosti nisu u tom redosledu.
OK, Strategija 1: sada fiksiram vrata i ne menjam odluku. Ako fiksiram vrata A, pogodicu u igrama 1,2 i 3, ostale cu izgubiti. Slicno je ako fiksiram vrata B - dobicu u igrama 4,5 i 6, ostale cu izgubiti. I ako, najzad fiksiram vrata C, pobedicu u igrama 7,8 i 9. U svakom slucaju dobicu 3 puta od 9.

Strategija 2: fiksiram vrata i uvek promenim odluku.
Ako fiksiram vrata A, i posle otvaranja promenim odluku, izgubicu u igrama 1,2 i 3 (dakle prevario sam se sto sam promenio odluku), ali cu dobiti sve druge igre. Isto vazi sa fiksiranjem vrata B i promenom (ne dobijam 4,5 i 6 igru, ali ostale dobijam), ili sa fiksiranjem vrata C i promenom (gubim 7,8 i 9, ali druge dobijam). U svakom slucaju dobijam 6 puta od 9, sto je dva puta bolje nego u prvoj strategiji.

docsumann 14:57 13.01.2010

Slučajevi

Interesantno je da sam, prije nekoloko dana, sa kolegom sa posla vodio strasnu raspravu o ovom istom problemu. Ja za 66:30 on za 50:50. Nakon višesatne debate svak je ostao na svome.

hazar 15:06 13.01.2010

Re: Ne moze bre tako

Vratio sam se kada je sve već gotovo. Hvala na strpljenju i pojašnjenju i vama i dawngreeter-u.

background noise 16:34 13.01.2010

Re: Ne moze bre tako

Hmmmm . . . ja sam u stvari pokusao da se nasalim na racun svoje deformisanosti ( treba da mi se nacrta ).

Ali eto, proizaslo je objasnjenje koje mi je zaistan jasno, prethodno sam samo prihvatio zdravo za gotovo po sistemu valjda cu jednog dana i ja ukapirati.

Sustina je krace izrazena u jednom prethodnom komenatru da je presudno to sto je jedna vrata otvorio onaj ko zna da iza njih nema nicega.

Super ti je tema, da se malo odmorimo od beskorisnih rasprava a volimo da dodjemo na blog.

corn mouth 00:12 14.01.2010

Re: Ne moze bre tako

background noise
Kad on otvori jedna vrata i ostanu dvoja neotvorena mi ponovo biramo. Sanse su pismo glava. Kad bi mi rezultat te matematike predstavio na nekom dijagramu mozda bi ti i poverovao . . . ovako, ostajem na pola-pola . . . <_<

Trazio sam analogiju sa urnom i kuglicama da bih video da li ce da proradi intuicija. Cini mi se da bi ovo odgovaralo.

Igrac vezanih ociju trazi zutu lopticu u urni u kojoj se na pocetku nalaze plava, crvena i zuta loptica.
Ako uspe da nadje zutu dobija nagradu.

Igra tece tako sto na pocetku igrac izvlaci jednu lopticu, a onda host od dveju preostalih izvlaci jednu. Host ne moze da izvuce onu koju je igrac vec izvukao posto je on cuva u ruci, a ne moze da izvadi ni zutu jer mu to ne dozvoljavaju pravila. U Monti holu to bi bilo da host nece da otvori vrata koja je igrac prvo izabrao i da nece da otvori vrata iza kojih je auto.

Na kraju igre sa kuglicama igrac izvlaci preostalu lopticu pazeci da ne pobrka koju je izvukao prvu, a koju drugu. Pitanje je koja je verovatnoca da je prva loptica zuta, a koja da je druga koju je igrac izvukao zuta?

Verovatnoca da je prva loptica koju je igrac izvukao zuta mora da bude 1/3 jer trazi tacno jednu kuglu od ukupno tri razlicite u urni.

Nakon sto host izvuce drugu, igrac zna da u urni ostaje sigurno zuta, osim ako mu nije vec dosla u ruku prilikom prvog izvlacenja, za sta je verovatnoca samo 1/3. Meni intuicija sad govori da preostale 2/3 verovatnoce idu na to da je zuta ostala unutra.

Cudno kako intuicija "radi" sa 3 boje, a kod troja vrata ne.

yu1bcd 14:54 13.01.2010

Kako inzenjeri razmisljamo!

Suppose you’re on a game show and you’re given the choice of three doors. Behind one door is a car; behind the others, goats. The car and the goats were placed randomly behind the doors before the show. The rules of the game show are as follows: After you have chosen a door, the door remains closed for the time being. The game show host, Monty Hall, who knows what is behind the doors, now has to open one of the two remaining doors, and the door he opens must have a goat behind it. If both remaining doors have goats behind them, he chooses one randomly. After Monty Hall opens a door with a goat, he will ask you to decide whether you want to stay with your first choice or to switch to the last remaining door. Imagine that you chose Door 1 and the host opens Door 3, which has a goat. He then asks you “Do you want to switch to Door Number 2?” Is it to your advantage to change your choice? (Krauss and Wang 2003:10)

U ovom scenariju je eliminisan ljudski faktor voditelja!

kole_cat 15:13 13.01.2010

Re: Kako inzenjeri razmisljamo!

yu1bcd
Suppose you’re on a game show and you’re given the choice of three doors. Behind one door is a car; behind the others, goats. The car and the goats were placed randomly behind the doors before the show. The rules of the game show are as follows: After you have chosen a door, the door remains closed for the time being. The game show host, Monty Hall, who knows what is behind the doors, now has to open one of the two remaining doors, and the door he opens must have a goat behind it. If both remaining doors have goats behind them, he chooses one randomly. After Monty Hall opens a door with a goat, he will ask you to decide whether you want to stay with your first choice or to switch to the last remaining door. Imagine that you chose Door 1 and the host opens Door 3, which has a goat. He then asks you “Do you want to switch to Door Number 2?” Is it to your advantage to change your choice? (Krauss and Wang 2003:10)

U ovom scenariju je eliminisan ljudski faktor voditelja!

Znaci, prosta matematika a ne ona visa.

background noise 20:20 13.01.2010

Re: Kako inzenjeri razmisljamo!

U ovom scenariju je eliminisan ljudski faktor voditelja!

nije

. . .and the door he opens must have a goat behind it.

yu1bcd 12:47 14.01.2010

Re: Kako inzenjeri razmisljamo!

If both remaining doors have goats behind them, he chooses one randomly.

Ovo je jedina arbitrarna odluka voditelja ali ona zadovoljava uslov koze iza otvorenih vrata! To je takodje nesretna situacija za takmicara koji ce 100% izgubiti auto ukoliko promeni odluku.

Colin_bgd 15:18 13.01.2010

Sta je uopste ta verovatnoca...

Problem je u shvatanju pojma/termina “verovatnoce”. Intuitivno mi u ovom slucaju imamo iluziju da cinimo ravnopravan izbor izmedju dvoja vrata i da je onda “verovatnoca” 50-50. Ali ovde to nije tacno, jer nas prvobitni izbor i mogucnost narednog izbora se ne odvijaju u istim uslovima, i sa istom (pocetnom) kolicinom informacija. Ali uostalom probajte hiljadu puta da odigrate ovu igru i imacete 667 puta dobitak ako promenite vrata i 333 puta cete izgubiti. Ali i obrnuto, ako ne menjate izbor vrata dobicete 333 puta, a izgubicete 667 puta. Znaci “verovatnoca” dobitka u slucaju promene je tacno 2/3.

“Verovatnoca” ne znaci apsolutno nista ukoliko se igra odigra jednom ili “premali” broj puta. Neophodno je igrati igru dovoljan broj puta i doci cete do pravog broja. Jos bolje: igrajte igru prvo 3 puta, zapisite rezultat, pa 10 puta, pa 30, pa 100. Pa onda opet ponovo 3 i tako u krug. Radite to nedelju dana, tri puta na dan (znam, nema niko toliko vremena), ali broj dobitaka u slucaju promene ce jasno da konvergira broju od 2/3 sto je veci broj igranja.

Paradoks je ovde sto mi intuitivno “ocekujemo” da veca verovatnoca od 2/3 UVEK nam donese dobitak u slucaju jednog jedinog igranja igre, a to pojam “verovatnoce” uopste niti pretpostavlja, a jos manje garantuje.

fehner 16:39 13.01.2010

Re: Sta je uopste ta verovatnoca...

Нема уствари потребе да се толико дуго игра, да би се схватило да је математика у праву. Пре више година сам радио такав ‘експеримент’, слично како је неко горе описао, са три кутије шибица, кликером, и помоћником који је играо улогу Монтија. Понекад сам мењао првобитни избор кутије, а понекад сам остајао при њему. Није дуго трајало, мислим мање од двадесетак понављања, да се покаже да је већа шанса да погодим праву кутију ако променим избор. При тако малом броју покушаја однос по свој прилици није био 2/3 према 1/3, али је ипак био довољно различит од 1/2 према 1/2 да се уочи разлика. И, занимљиво, приметио сам да ми се током игре и интуиција променила! И на почетку сам веровао математици, али ми ствар ипак није била интуитивно прихватљива, као и већини људи. Међутим, током игре, како је разлика постајала све уочљивија, постајала ми је и све прихватљивија. Можда и зато што ми је постајало све јасније да ‘Монтијев ‘ избор коју ће кутију отворити није произвољан већ зависи од мог избора, и да се стога првобитна ситуација променила, а са тиме и вероватноће. Дакле, експериментација може да врши едукацију интуиције, другим речима, ако се мало више и ближе упознам са нечим, могуће је и да променим мишљење.

zgubidan18 15:28 13.01.2010

milka canic

Nisam pročitao sve postove, većinu jesam, pa ako je već neko elaborirao problem na ovaj način, izvinjavam se.

Pravila igre nalažu da, kada mi izaberemo jedna vrata, voditelj će, od one grupe preostalih vrata pootvarati sva i ostaviti samo jedna. Posmatrajmo svih 100 vrata ovako - imamo 2 grupe vrata. Rimskim brojem 1 (I), označićemo naša vrata, a rimskim brojem 2 (II) označićemo preostalih 99 vrata. Dakle grupa I ima 1 vrata, grupa II ima 99 vrata. Na poslednjem koraku kviza, imamo izbor ostavi ili promeni vrata, tj grupa I ostaje na onih 1 vrata koje smo izabrali, a grupa II se svela na preostalih 1 vrata koja su neotvorena. Da li je ovakav ishod završnice neminovnost, tj da će se obe grupe svesti na po 1 vrata? Da, jer pravila kviza to nalažu, uvek će on pootvarati sva preostala vrata sem jednih. Dakle, da li možemo da kažemo sledeće - ja ne želim da razmišljam o izboru jednih vrata, ja ću da razmišljam o izboru jedne grupe vrata, jer na kraju grupe se svedu na po 1 vrata.. Ako izaberem grupu I, šanse da osvojim nagradu su 1/100, ako izaberem grupu II, šanse su 99/100. Pošto se meni neminovno na startu nameće grupa I, onda, mi je bolje, kad mi se god ukaže prilika da izaberem grupu II jer je mnogo veća šansa da je tamo auto. A grupu II na kraju predstavljaju ona jedna neotvorena vrata.

Posmatrajmo stvari, kao da nam neko na samom početku, nakon što mi izaberemo naša vrata kaže - hoćeš li da ostaneš pri svojim vratima ili da ih zameniš za preostalih 99, pri čemu ću ti ja oduzeti 98 vrata, ali obećavam, ako je iza jednih od tih 99 vrata auto, ja ti neću oduzeti ta vrata? Po meni je ovo put ka razumevanju rešenja problema.
Kao što vidite, obrnuo sam redosled, prvo pitanje, pa oduzimanje kutija, ali, to ništa ne menja u našem posmatranju problema suština je ista. Naravno, neophodan uslov je da ja u potpunosti znam pravila kviza, što možda neke ovde buni. Ne znamo da li je učesnik kviza znao da će mu Monty Hall ponuditi da zameni vrata i da li je učesnik znao da Monty Hall zna gde je auto.

Inače, ova pojava u matematici se naziva - uslovna verovatnoća.

Colin_bgd 16:36 13.01.2010

Re: milka canic

Ako izaberem grupu I, šanse da osvojim nagradu su 1/100, ako izaberem grupu II, šanse su 99/100. Pošto se meni neminovno na startu nameće grupa I, onda, mi je bolje, kad mi se god ukaže prilika da izaberem grupu II jer je mnogo veća šansa da je tamo auto. A grupu II na kraju predstavljaju ona jedna neotvorena vrata.

najbolji opis problema. tvrditi suprotno, tj. da je verovatnoca 50-50% izmedju jednih vrata i 99 vrata je neshvatljiva.

Jelica Greganović 15:53 13.01.2010

Meni ništa

u matematici nije ni intuitivno, ni inače prihvatljivo...brojim na prste, kad pređem 10 prelazim na nožne...šta ću učitelju, džaba mi je deda bio nastavnik matematike, otac inženjer...kanda mi zakržljao taj gen...

nsarski 22:27 14.01.2010

Re: Meni ništa

Jelica Greganović
u matematici nije ni intuitivno, ni inače prihvatljivo...brojim na prste, kad pređem 10 prelazim na nožne...šta ću učitelju, džaba mi je deda bio nastavnik matematike, otac inženjer...kanda mi zakržljao taj gen...

Sve sto mogu da kažem je: I love you for what you are.

angie01 16:05 13.01.2010

izvinjavam se,

al, ako moze samo da mi se obNJasni- zashto ona moja izabrana vrata nisu duplirala svoju mogucnost pobede na 66, 6%, kada su mi pokazana treca kao prazna?

(ps- ovakve postavke mi stalno postavljaju pitaje, kako sam ja, ovako nematematichna, uopshte bilo shta izabrala i pogodila u zivotu- kada oni drugi faktori nisu bash za oslanjanje!)

Jelica Greganović 16:28 13.01.2010

Re: izvinjavam se,

angie01 16:33 13.01.2010

Re: izvinjavam se,

What, Jelice?

marco_de.manccini 16:08 13.01.2010

Било би 50-50

само кад би домаћин, откако отвори врата Ц иза којих нема ништа, поново помешао ствари и случајно ставио ауто иза једних од врата А или Б.

У том случају је наш други избор стварно избор између равноправних опција и свеједно је да ли ћемо променити одлуку ии не.

Али домаћин не мења позицију аутомобила. Он је где је и био. А био је иза наших врата А са вероватноћом 33% и са вероватноћом 67% иза једних од врата Б или Ц. Знајући све ово, кад нам љубазни домаћин да додатну информацију да ауто сигурно није иза Ц, онда знамо да је иза наших врата са ветоватноћом од 33% и иза врата Б са вероватноћом 67%.

gorran2 16:18 13.01.2010

Super je zanimljivo

koliko se dugo, uporno i inventivno čovek može odupirati logici

Colin_bgd 16:33 13.01.2010

Re: Super je zanimljivo

koliko se dugo, uporno i inventivno čovek može odupirati logici

logici se mozda mozemo odupirati, ali se tesko mozemo odupirati matematici...

Milan Novković 16:40 13.01.2010

Re: Super je zanimljivo

gorran2
koliko se dugo, uporno i inventivno čovek može odupirati logici

Što govori koliko je ova hard-core, "intelektualna" logika nebitna, tj precenjena u običnom životu.

A intinsic, tacit logika ne bi imala ove atribute kad bi bila čitljiva

gorran2 16:42 13.01.2010

Re: Super je zanimljivo

Colin_bgd
koliko se dugo, uporno i inventivno čovek može odupirati logici

logici se mozda mozemo odupirati, ali se tesko mozemo odupirati matematici...

Ma ne znaš ti nas, nemoj dvaput reći

docsumann 16:44 13.01.2010

Re: Super je zanimljivo

Da, valjda baš zato što je sama logika način na koji jedino ljudi (bar na ovoj planeti) pokušavaju da objasne ono što im se dešava. A ko zna šta se to u stvari zaista zbiva.

nsarski 16:57 13.01.2010

Re: Super je zanimljivo

koliko se dugo, uporno i inventivno čovek može odupirati logici

Moje laicko objasnjenje "intuicije" ili psihologije.

Cini mi se da ljudi pred Montijevim problemom razmisljaju o krajnjem ishodu ako je negativan po mene.

Ako promenim odluku i ne dobijem nagradu, ja sam ostavio vrapca u ruci i krenuo za golubom na grani. Napravio sam od gotovine veresiju, i tome slicno.
Ako ne dobijem nagradu, bez promene odluke, to je onda "stvar srece", ja je nisam imao i to je to.

U prvom slucaju, dakle, sam sebi sam naskodio promenom odluke. U drugom slucaju u pitanju je visa sila.
Nista nije tako dobro kao dobar izgovor.

docsumann 17:15 13.01.2010

Re: Super je zanimljivo

[Ako promenim odluku i ne dobijem nagradu, ja sam ostavio vrapca u ruci i krenuo za golubom na grani. Napravio sam od gotovine veresiju, i tome slicno.
Ako ne dobijem nagradu, bez promene odluke, to je onda "stvar srece", ja je nisam imao i to je to.]

A preostala dva događaja:

- Promjenim odluku i dobijem (ovo je valjda valorizovana logika)
- Ne promjenim i dobijem (autentična intuicija)

gordanac 17:18 13.01.2010

:))

nsarski:
Nista nije tako dobro kao dobar izgovor.

e, ti kad si u pravu - ondaK si u pravu!

evo jedan primer (diskutabilan, ali ipak - primer)
kako Wayne Dyer to radi (mada bih ja uvek radije da slušam ljude o tome šta i kako se radi da bi bio neuspešan, a ne - kako biti uspešan, u smislu - šta menjati da bi bio uspešan)

gorran2 17:19 13.01.2010

Re: Super je zanimljivo

- Ne promjenim i dobijem (autentična intuicija)

Ima onaj efekat "svraba u prstima" koji poznaje svaki kockar...

yu1bcd 22:22 13.01.2010

Re: :))

U Srbiji se ne prikazuju stariji Oprah Winfrey shows sa dr. Philom? Dobri izgovori su pusto Tursko nasledje za nerad. Rebeka West je to opazila pre stotinjak godina i lepo formulisala, da se ovde svi "necim bave". I zadrzavaju stare, zastarele stavove. "Pojmasi" copyright @ Gordana.

gorran2 16:57 13.01.2010

Još jedan slučaj

Možda je i ovo masovno optiranje protiv vakcinacije još jedan slučaj pogrešnog računanja verovatnoća. Slično kao kod Montija, svaki pojedinačno slučaj vakcinisanja je još jedno "otvaranje vrata", odnosno provaljivanje jedne opcije iza koje nema gripa...

gorran2 17:18 13.01.2010

Re: Još jedan slučaj

U to ime, može jedno zanimljivo pitanje za matematičare?

Zamislimo situaciju A, u kojoj nije vakcinisan niko, i u kojoj grip, na primer, zahvati 50% populacije.
Pitanje glasi:
Kolika će biti procentualna incidencija u slučaju da se 50% populacije unapred vakciniše?